素因数分解の計算
この素因数分解の計算ページは、2から9,007,199,254,740,991までの整数を素数の積に分けます。数の欄に整数を入力すると、キーを押すたびに結果が更新され、累乗表記と素因数の2通りで表示されます。たとえば360なら、累乗表記は2³ × 3² × 5、素因数は2, 2, 2, 3, 3, 5です。素数のときはその旨も表示されます。押すボタンはなく、処理はブラウザの中で行われ、入力した内容はどこにも送信されません。
素因数分解のやり方
素因数分解の計算は次の手順です。
- 数の欄をクリックして、整数を入力してください。入力を始めるまでは、例として360が表示されています。
- 短く見たいときは累乗表記を見てください。何度も出てくる素数には、小さな指数が付きます。
- すべてを見たいときは素因数を見てください。数を割れる回数だけ、同じ素数が並びます。
- 数字を1つ変えると、2つの行がすぐに更新されます。やり直すときは欄を空にしてください。
カンマ、スペース、アポストロフィは無視されるので、1,000,000と1 000 000のどちらも使えます。全角の数字も使えます。小数、負の数、0、1、文字を入力すると「1より大きい整数を、数字のみで入力してください。」と表示されます。上限を超えた場合は、数が大きすぎることを知らせるメッセージが出ます。
素因数分解とは：結果の読み方
素因数分解とは、1より大きい整数を素数の積で表すことです。2つの行は同じ積を表しています。素因数の行は、その素数が数を割れる回数だけ同じ素数を並べます。累乗表記の行は、その回数を数えて小さな指数で書きます。1回しか出ない素数には指数が付きません。実際の出力は次のとおりです。
- 84：
2² × 3 × 7（2, 2, 3, 7） - 360：
2³ × 3² × 5（2, 2, 2, 3, 3, 5） - 3,600：
2⁴ × 3² × 5² - 1,001：
7 × 11 × 13 - 1,000,000：
2⁶ × 5⁶
答えを確かめるには、素数をかけ戻します。2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360です。1より大きい整数は、順序を除けばただ1通りに素因数分解できるので、正しい方法ならどれも同じ素数にたどり着きます。
素数の判定：素数のときの表示
素数は、1とそれ自身以外に約数がないので、素因数分解はその数だけになります。47を入力すると、結果欄に「47は素数です。」と表示され、累乗表記にも素因数にも47だけが出ます。
そのため、このページは素数判定にも使えます。素数でない数は素数に分けられ、その約数が証拠として並びます。たとえば91は7 × 13になります。
素因数分解の大きい数の計算
計算には試し割りを使います。2で割り、次に3で割り、その先は6k − 1と6k + 1の形の数で、残った数の平方根まで割っていきます。処理はブラウザの中で短く区切って行われるので、ページは動いたままです。ほとんどの数は一瞬で終わります。とても大きい数のときは、「約数を確認中」の下に進み具合のパーセントが表示されます。最も時間がかかる9,007,199,254,740,881のような約9千兆に近い素数でも、約0.5秒です。
結果は9,007,199,254,740,991までのすべての整数で正確です。これは2⁵³ − 1で、JavaScriptが丸めずに扱える最大の整数です。この上限を超えると、推測せずに入力を受け付けません。
素因数分解の求め方：手計算
割り算の方法は、このページが行っているのと同じ考え方です。割り切れる最小の素数で割り、その商にも同じことを繰り返して、1になるまで続けます。
- 84 ÷ 2 = 42
- 42 ÷ 2 = 21
- 21 ÷ 3 = 7
- 7 ÷ 7 = 1
割った数2, 2, 3, 7が素因数で、84 = 2² × 3 × 7となります。試すのは素数だけで、残った数の平方根までで十分です。どれでも割れなければ、残った数は素数です。
このページでできないこと
素因数を求めて、素数かどうかを知らせます。因数の木は描かず、すべての約数も並べません。最大公約数や最小公倍数も求めません。コピーやダウンロードのボタンもないので、コピーしたいときは文字を選択してください。
よくある質問
360の素因数分解は？
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5で、累乗表記では2³ × 3² × 5です。「数」の欄に360を入力すると、累乗表記は2³ × 3² × 5、素因数は2, 2, 2, 3, 3, 5と両方表示されます。素因数をかけ戻すと360になります。
素因数分解を累乗で書くには？
それぞれの素数が何回出てくるかを数え、その回数を小さな指数にして書きます。3600の素因数は2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5なので、累乗表記は2⁴ × 3² × 5²です。1回だけ出る素数は指数を付けません。このページの「累乗表記」の行も同じ書き方です。
大きい数の素因数分解はどうすればよい？
割れる最小の素数で割り、その結果にも同じことを繰り返し、残りが素数になったら止めます。大きい数では割り算がとても多くなるので、「数」の欄に入力してください。2から9,007,199,254,740,991までの整数に対応しています。1,000,000なら2⁶ × 5⁶、9,007,199,254,740,991なら6361 × 69431 × 20394401と表示されます。
素数を素因数分解するとどうなる？
素数は、1以外にそれより小さい数で割れないので、自分自身がそのまま素因数分解になります。47の素因数分解は47だけです。素数を入力すると「47は素数です。」と表示され、累乗表記にも素因数にもその数だけが出ます。
素数かどうかの判定方法は？
1より大きい数は、その平方根までのどの素数でも割り切れなければ素数です。91の平方根は10より少し小さく、7で割れる（91 = 7 × 13）ので、91は素数ではありません。数を入力すると、この判定をページが行います。素数なら「…は素数です。」と表示され、それ以外は素因数に分けられます。
割り算で素因数分解する求め方は？
数を書き、割り切れる最小の素数（2、次に3、5、7の順）で割って、商をその下に書き、商が1になるまで繰り返します。割った素数が素因数です。84なら、84 ÷ 2 = 42、42 ÷ 2 = 21、21 ÷ 3 = 7、7 ÷ 7 = 1なので、84 = 2 × 2 × 3 × 7、つまり2² × 3 × 7です。このページの試し割りも、同じ方法をコンピューターが行っています。
計算できる最大の数はいくつ？
9,007,199,254,740,991です。これは2⁵³ − 1で、JavaScriptが正確に扱える最大の整数です。それを超えると、間違った答えではなく、数が大きすぎるというメッセージが出ます。上限までの結果は正確ですが、上限近くの素数は確認に約0.5秒かかり、その間は「約数を確認中」の下にパーセントが表示されます。
「1より大きい整数を、数字のみで入力してください。」と出るのはなぜ？
「数」の欄は数字だけを受け付け、値は2以上でなければなりません。小数、負の数、0、1、文字を入力すると、このメッセージが出ます。素因数分解は1より大きい整数に対して定義され、1には素因数がなく、0には素因数分解がありません。千の位の区切りに使うカンマ、スペース、アポストロフィは問題ないので、1,000,000も使えます。
因数の木は描けますか？すべての約数も出ますか？
いいえ。素因数を累乗表記と素因数の2通りで表示し、素数のときはそれを知らせます。因数の木を描くことも、すべての約数を並べることも、最大公約数や最小公倍数を求めることもしません。手で因数の木を描くには、数を好きな2つの因数に分け、各枝を先端がすべて素数になるまで分けていきます。先端の素数は、このページが並べる素数と同じです。
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