Décomposition en facteurs premiers d'un nombre
Cette calculatrice de décomposition en facteurs premiers décompose tout nombre entier de 2 à 9 007 199 254 740 991 en nombres premiers. Saisissez le nombre dans Nombre et le résultat s'affiche à chaque frappe, sous deux formes : la Forme exponentielle, comme 2³ × 3² × 5 pour 360, et la liste des Facteurs premiers, ici 2, 2, 2, 3, 3, 5. Si le nombre est premier, la page l'indique. Il n'y a aucun bouton, tout se passe dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé.
Comment décomposer en facteurs premiers
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers :
- Cliquez dans la case Nombre et saisissez un nombre entier. Tant que vous n'avez rien tapé, la case montre 360 en exemple.
- Lisez la forme exponentielle pour la version courte : chaque nombre premier qui se répète porte un petit exposant.
- Lisez les facteurs premiers pour la liste complète : chaque nombre premier y figure autant de fois qu'il divise le nombre.
- Changez un chiffre, et les deux lignes se mettent à jour aussitôt. Videz la case pour recommencer.
Les virgules, les espaces et les apostrophes sont ignorés : 1,000,000 et 1 000 000 fonctionnent donc tous les deux, ainsi que les chiffres pleine largeur. Un nombre décimal, un nombre négatif, 0, 1 ou une lettre affichent le message « Saisissez un nombre entier supérieur à 1, avec des chiffres uniquement. ». Au-delà de la limite, le message indique que le nombre est trop grand.
Décomposition en produit de facteurs premiers : lire le résultat
Les deux lignes décrivent le même produit. La liste répète un nombre premier autant de fois qu'il divise le nombre ; la forme exponentielle compte les répétitions et écrit ce total en petit exposant. Un nombre premier qui n'apparaît qu'une fois n'a pas d'exposant. Voici de vrais résultats :
- 84 :
2² × 3 × 7, soit 2, 2, 3, 7 - 360 :
2³ × 3² × 5, soit 2, 2, 2, 3, 3, 5 - 3 600 :
2⁴ × 3² × 5² - 1 001 :
7 × 11 × 13 - 1 000 000 :
2⁶ × 5⁶
Pour vérifier une réponse, multipliez les facteurs entre eux : 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360. Tout nombre supérieur à 1 a une seule décomposition en nombres premiers, à l'ordre près : toute méthode correcte aboutit donc aux mêmes facteurs.
Nombre premier ou pas ?
Un nombre premier n'a pas d'autre diviseur que lui-même ; sa décomposition est donc le nombre seul. Saisissez 47 et la zone de résultat affiche « 47 est un nombre premier. », avec 47 dans la forme exponentielle et dans les facteurs premiers.
La page permet ainsi de tester si un nombre est premier ou composé : tout nombre non premier est décomposé, et la liste montre les diviseurs qui le prouvent. 91, par exemple, donne 7 × 13.
Décomposition en nombres premiers de grands nombres
La calculatrice procède par divisions successives : elle divise par 2, par 3, puis par chaque nombre de la forme 6k − 1 et 6k + 1, jusqu'à la racine carrée de ce qui reste. Le calcul se fait dans le navigateur, par petites tranches, et la page reste réactive. La plupart des nombres sont traités instantanément. Pour un très grand nombre, un pourcentage d'avancement apparaît sous « Vérification des diviseurs ». Le cas le plus lent, un nombre premier proche de 9 millions de milliards comme 9 007 199 254 740 881, prend environ une demi-seconde.
Le résultat est exact pour tout entier jusqu'à 9 007 199 254 740 991, soit 2⁵³ − 1, le plus grand entier que JavaScript stocke sans arrondi. Au-delà, la calculatrice refuse au lieu de deviner.
Décomposer un nombre en facteurs premiers à la main
La méthode des divisions est la même idée que celle de la calculatrice : divisez par le plus petit nombre premier qui divise exactement, puis recommencez avec le quotient jusqu'à obtenir 1.
- 84 ÷ 2 = 42
- 42 ÷ 2 = 21
- 21 ÷ 3 = 7
- 7 ÷ 7 = 1
Les diviseurs 2, 2, 3 et 7 sont les facteurs premiers, donc 84 = 2² × 3 × 7. Seuls les nombres premiers sont à tester, et seulement jusqu'à la racine carrée du nombre restant. Si aucun ne le divise, ce qui reste est premier.
Ce que cette calculatrice ne fait pas
Elle trouve les facteurs premiers et indique quand un nombre est premier. Elle ne dessine pas d'arbre de facteurs, ne liste pas tous les diviseurs et ne calcule ni le plus grand commun diviseur ni le plus petit commun multiple. Il n'y a pas non plus de bouton pour copier ou télécharger : sélectionnez le texte pour le copier.
Questions fréquentes
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 360 ?
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, soit 2³ × 3² × 5 en forme exponentielle. Saisissez 360 dans « Nombre » et la calculatrice affiche les deux : la forme exponentielle indique 2³ × 3² × 5 et les facteurs premiers indiquent 2, 2, 2, 3, 3, 5. En multipliant la liste, vous retrouvez 360.
Comment écrire une décomposition en produit de facteurs premiers avec des exposants ?
Comptez combien de fois chaque nombre premier apparaît et écrivez ce total en petit exposant. Pour 3600, les facteurs sont 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, ce qui donne 2⁴ × 3² × 5². Un nombre premier qui apparaît une fois s'écrit sans exposant. La ligne « Forme exponentielle » de la calculatrice est écrite ainsi.
Comment décomposer un grand nombre en facteurs premiers ?
Divisez par le plus petit nombre premier qui convient, recommencez avec le résultat et arrêtez-vous quand il reste un nombre premier. Pour un grand nombre, cela fait beaucoup de divisions : saisissez-le plutôt dans « Nombre ». La calculatrice accepte tout entier de 2 à 9 007 199 254 740 991. Pour 1 000 000, elle affiche 2⁶ × 5⁶ ; pour 9 007 199 254 740 991, elle affiche 6361 × 69431 × 20394401.
Quelle est la décomposition d'un nombre premier ?
Un nombre premier est sa propre décomposition, car rien de plus petit que lui ne le divise, à part 1. Celle de 47 est simplement 47. Quand vous saisissez un nombre premier, la calculatrice répond « 47 est un nombre premier. » et les deux lignes montrent le nombre seul.
Comment savoir si un nombre est premier ou pas ?
Un nombre supérieur à 1 est premier si aucun nombre premier jusqu'à sa racine carrée ne le divise. Pour 91, la racine carrée est un peu inférieure à 10 et 7 le divise (91 = 7 × 13) : 91 n'est donc pas premier. Saisissez le nombre et la calculatrice fait ce test : un nombre premier reçoit la ligne « … est un nombre premier. », tous les autres sont décomposés en facteurs premiers.
Comment trouver les facteurs premiers d'un nombre par divisions ?
Écrivez le nombre, divisez-le par le plus petit nombre premier qui le divise exactement (essayez 2, puis 3, puis 5, puis 7), écrivez le quotient dessous et recommencez jusqu'à obtenir 1. Les nombres premiers par lesquels vous avez divisé sont les facteurs premiers. Pour 84 : 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1, donc 84 = 2 × 2 × 3 × 7, ou 2² × 3 × 7. La calculatrice applique cette méthode, effectuée par l'ordinateur.
Quel est le plus grand nombre que la calculatrice peut décomposer ?
9 007 199 254 740 991, soit 2⁵³ − 1, le plus grand entier que JavaScript manipule sans erreur. Au-delà, un message indique que le nombre est trop grand au lieu d'afficher un résultat faux. Dans la limite, chaque résultat est exact, mais un nombre premier proche du plafond demande environ une demi-seconde et un pourcentage apparaît sous « Vérification des diviseurs ».
Pourquoi s'affiche « Saisissez un nombre entier supérieur à 1, avec des chiffres uniquement. » ?
La case « Nombre » n'accepte que des chiffres, et la valeur doit valoir au moins 2. Les décimaux, les négatifs, 0, 1 et les lettres déclenchent ce message. La décomposition en facteurs premiers est définie pour les entiers supérieurs à 1 : 1 n'a pas de facteur premier et 0 n'a pas de décomposition. Les virgules, espaces et apostrophes comme séparateurs de milliers ne gênent pas, donc 1,000,000 fonctionne.
La calculatrice dessine-t-elle un arbre de facteurs ou liste-t-elle tous les diviseurs ?
Non. Elle donne les facteurs premiers sous deux formes, forme exponentielle et facteurs premiers, et indique quand le nombre est premier. Elle ne dessine pas d'arbre de facteurs, ne liste pas tous les diviseurs et ne calcule ni PGCD ni PPCM. Pour faire un arbre à la main, coupez le nombre en deux facteurs quelconques puis continuez sur chaque branche jusqu'à ce que toutes les extrémités soient premières ; ce sont les mêmes que ceux de la liste.
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