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Primfaktorzerlegung berechnen

Dieser Primfaktorzerlegung Rechner zerlegt jede ganze Zahl von 2 bis 9.007.199.254.740.991 in Primzahlen. Gib die Zahl in das Feld Zahl ein, und das Ergebnis erscheint bei jedem Tastendruck in zwei Formen: als Potenzschreibweise, zum Beispiel 2³ × 3² × 5 für 360, und als Liste der Primfaktoren, hier 2, 2, 2, 3, 3, 5. Ist die Zahl eine Primzahl, steht das ebenfalls da. Es gibt keinen Button, alles läuft in deinem Browser, und nichts, was du eingibst, wird gesendet.

Primfaktoren berechnen: so geht's

So kannst du Primfaktoren berechnen:

  1. Klicke in das Feld Zahl und tippe eine ganze Zahl ein. Bis du anfängst, zeigt das Feld 360 als Beispiel.
  2. Lies die Potenzschreibweise für die Kurzform: Jede Primzahl, die mehrfach vorkommt, bekommt eine hochgestellte Zahl.
  3. Lies die Primfaktoren für die volle Liste: Jede Primzahl steht so oft da, wie sie die Zahl teilt.
  4. Ändere eine Ziffer, und beide Zeilen aktualisieren sich sofort. Leere das Feld, um neu zu beginnen.

Kommas, Leerzeichen und Apostrophe werden ignoriert, 1,000,000 und 1 000 000 funktionieren also beide, ebenso Ziffern in Vollbreite. Eine Dezimalzahl, eine negative Zahl, 0, 1 oder ein Buchstabe zeigt die Meldung „Gib eine ganze Zahl größer als 1 ein, nur mit Ziffern.“ Liegt die Zahl über dem Limit, steht dort, dass sie zu groß ist.

Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise lesen

Beide Zeilen beschreiben dasselbe Produkt. Die Liste nennt eine Primzahl so oft, wie sie die Zahl teilt. Die Potenzschreibweise zählt die Wiederholungen und schreibt die Anzahl als kleine hochgestellte Zahl. Eine Primzahl, die nur einmal vorkommt, hat keinen Exponenten. Das sind echte Ausgaben:

Zur Kontrolle multiplizierst du die Primfaktoren wieder: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360. Jede Zahl über 1 hat bis auf die Reihenfolge genau eine Primfaktorzerlegung, jede richtige Methode endet also bei denselben Primzahlen.

Ist das eine Primzahl? So erkennst du es

Eine Primzahl hat außer sich selbst keine Teiler, ihre Zerlegung ist also die Zahl allein. Gibst du 47 ein, steht im Ergebnisfeld „47 ist eine Primzahl.“, und die 47 erscheint bei der Potenzschreibweise und bei den Primfaktoren.

So prüfst du schnell, ob eine Zahl eine Primzahl oder zusammengesetzt ist: Alles, was keine Primzahl ist, wird zerlegt, und die Liste zeigt die Teiler, die das beweisen. 91 ergibt zum Beispiel 7 × 13.

Primfaktorzerlegung für große Zahlen

Der Rechner nutzt Probedivision: Er teilt durch 2, durch 3 und dann durch jede Zahl der Form 6k − 1 und 6k + 1, bis zur Wurzel des Rests. Die Arbeit läuft in kurzen Abschnitten im Browser, die Seite bleibt also bedienbar. Die meisten Zahlen sind sofort fertig. Bei einer sehr großen Zahl erscheint unter „Teiler werden geprüft“ eine Prozentanzeige. Der langsamste Fall, eine Primzahl nahe 9 Billiarden wie 9.007.199.254.740.881, dauert etwa eine halbe Sekunde.

Das Ergebnis ist für jede ganze Zahl bis 9.007.199.254.740.991 exakt. Das ist 2⁵³ − 1 und die größte ganze Zahl, die JavaScript ohne Rundung speichern kann. Darüber lehnt der Rechner ab, statt zu raten.

Zahl in Primfaktoren zerlegen: von Hand

Das Divisionsverfahren ist dieselbe Idee wie im Rechner: Teile durch die kleinste Primzahl, die ohne Rest aufgeht, und wiederhole das mit dem Ergebnis, bis du bei 1 ankommst.

Die Teiler 2, 2, 3 und 7 sind die Primfaktoren, also 84 = 2² × 3 × 7. Du musst nur Primzahlen testen, und nur bis zur Wurzel der Zahl, die übrig ist. Geht keine davon auf, ist der Rest selbst eine Primzahl.

Was der Rechner nicht kann

Er findet Primfaktoren und sagt dir, wenn eine Zahl eine Primzahl ist. Er zeichnet keinen Faktorbaum, listet nicht alle Teiler auf und berechnet weder den größten gemeinsamen Teiler noch das kleinste gemeinsame Vielfache. Es gibt auch keinen Button zum Kopieren oder Herunterladen: Markiere den Text, um ihn zu kopieren.

Häufige Fragen

Was ist die Primfaktorzerlegung von 360?

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, in Potenzschreibweise 2³ × 3² × 5. Gib 360 in das Feld „Zahl“ ein, dann zeigt der Rechner beide Formen: Die Potenzschreibweise lautet 2³ × 3² × 5, die Primfaktoren lauten 2, 2, 2, 3, 3, 5. Multiplizierst du die Liste wieder, kommt 360 heraus.

Wie schreibe ich die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise?

Zähle, wie oft jede Primzahl vorkommt, und schreibe diese Anzahl als kleine hochgestellte Zahl. Für 3600 sind die Primfaktoren 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, also lautet die Potenzschreibweise 2⁴ × 3² × 5². Eine Primzahl, die nur einmal vorkommt, schreibst du ohne Exponent. Die Zeile „Potenzschreibweise“ des Rechners ist genau so geschrieben.

Wie geht die Primfaktorzerlegung bei großen Zahlen?

Teile durch die kleinste Primzahl, die aufgeht, wiederhole das mit dem Ergebnis und höre auf, wenn der Rest eine Primzahl ist. Bei einer großen Zahl ist das viel Rechnerei, tippe sie deshalb in das Feld „Zahl“. Der Rechner nimmt jede ganze Zahl von 2 bis 9.007.199.254.740.991. Für 1.000.000 zeigt er 2⁶ × 5⁶, für 9.007.199.254.740.991 zeigt er 6361 × 69431 × 20394401.

Was ist die Primfaktorzerlegung einer Primzahl?

Eine Primzahl ist ihre eigene Primfaktorzerlegung, weil außer 1 nichts Kleineres sie teilt. Die Primfaktorzerlegung von 47 ist einfach 47. Gibst du eine Primzahl ein, meldet der Rechner „47 ist eine Primzahl.“, und beide Zeilen zeigen die Zahl allein.

Ist das eine Primzahl? Woran erkenne ich es?

Eine Zahl über 1 ist eine Primzahl, wenn keine Primzahl bis zu ihrer Wurzel sie teilt. Bei 91 liegt die Wurzel knapp unter 10, und 7 geht auf (91 = 7 × 13), also ist 91 keine Primzahl. Gib die Zahl ein, und der Rechner macht diese Prüfung für dich: Eine Primzahl bekommt die Meldung „… ist eine Primzahl.“, alles andere wird in Primfaktoren zerlegt.

Wie finde ich Primfaktoren mit dem Divisionsverfahren?

Schreibe die Zahl auf, teile durch die kleinste Primzahl, die ohne Rest aufgeht (probiere 2, dann 3, 5, 7), schreibe das Ergebnis darunter und wiederhole das, bis 1 herauskommt. Die Primzahlen, durch die du geteilt hast, sind die Primfaktoren. Für 84: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1, also 84 = 2 × 2 × 3 × 7 oder 2² × 3 × 7. Der Rechner nutzt Probedivision, dasselbe Verfahren, nur vom Computer ausgeführt.

Was ist die größte Zahl, die der Rechner zerlegen kann?

9.007.199.254.740.991, das ist 2⁵³ − 1 und die größte ganze Zahl, die JavaScript exakt verarbeitet. Alles darüber zeigt die Meldung, dass die Zahl zu groß ist, statt eines falschen Ergebnisses. Bis zum Limit ist jedes Ergebnis exakt, aber eine Primzahl nahe der Obergrenze braucht etwa eine halbe Sekunde, und dabei erscheint unter „Teiler werden geprüft“ eine Prozentanzeige.

Warum erscheint „Gib eine ganze Zahl größer als 1 ein, nur mit Ziffern.“?

Das Feld „Zahl“ nimmt nur Ziffern an, und der Wert muss mindestens 2 sein. Dezimalzahlen, negative Zahlen, 0, 1 und Buchstaben lösen diese Meldung aus. Die Primfaktorzerlegung ist für ganze Zahlen über 1 definiert: 1 hat keine Primfaktoren, und 0 hat keine Zerlegung. Kommas, Leerzeichen und Apostrophe als Tausendertrenner sind in Ordnung, 1,000,000 funktioniert also.

Zeichnet der Rechner einen Faktorbaum?

Nein. Er liefert die Primfaktoren in zwei Formen, Potenzschreibweise und Primfaktoren, und sagt dir, wenn die Zahl eine Primzahl ist. Einen Faktorbaum zeichnet er nicht, und alle Teiler listet er auch nicht auf. Für einen Faktorbaum von Hand teilst du die Zahl in zwei beliebige Faktoren und zerlegst jeden Ast weiter, bis alle Enden Primzahlen sind. Diese Primzahlen sind dieselben wie in der Liste des Rechners.

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