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微分計算機：関数の導関数を求める

この微分計算機は、入力した関数の導関数を入力と同時に正確に求め、教科書のような表記で関数の隣に表示します。点を指定すると、その点での導関数の値も出せます。表示するのは最終的な導関数だけで、途中の計算過程は出ません。処理はすべてお使いのブラウザ内で行われ、登録は不要です。

微分計算のしかた：導関数が表示されるまで

入力しながら計算が進みます。手順は次のとおりです。

関数の欄に式を入力します。たとえば 3x^2 + 2x です。
少し間を置くと、結果のカードに2行が表示されます。計算機が読み取った f(x) と、簡単な形にした 導関数 f'(x) です。3x^2 + 2x の場合は 6x + 2 になります。
式を変えると、結果も更新されます。

式を途中まで入力している間は、直前の正しい結果を残し、1秒後に薄く表示します。そのとき「式が完成するまで、直前の結果を表示しています。」というメッセージが出ます。答えは正確な分数や記号で、たとえば cbrt(x) の導関数は 1/(3x^(2/3)) と表示されます。0.5x^2 のように小数で入力すると、答えも小数のままです。

関数の微分計算で入力できる式

表計算ソフトやグラフ電卓と同じ感覚で式を書いてください。関数名の後ろにはかっこを付けます（例：sin(2x)）。sin x のように文字や数字だけの場合も読み取れますが、sin 2x は読み取れません。小数点にはピリオドを使います。

x^2、x^(1/3)：べき乗（分数や負の指数も可）
3x、2*x、x(x+1)、2sin(x)：掛け算（記号を書いても省略しても可）
ax：a かける x（a は定数として扱います）
pi または π、e：円周率とネイピア数
ln(x)、log(x)：自然対数
log(x, 2)、log10(x)、log2(x)：底が異なる対数
sqrt(x)、cbrt(x)、nthRoot(x, 4)：平方根、立方根、n乗根
abs(x)、exp(x)：絶対値、e の x 乗

三角関数は sin、cos、tan、sec、csc、cot、その逆関数は asin、acos、atan（arcsin などでも可）、双曲線関数は sinh、cosh、tanh、sech、csch、coth と、asinh のような逆関数に対応しています。

微分係数の計算：指定した点での値

オプションを開き、導関数の値を求める点に値を入力します。すると f'(値) = 数値の形で、有効数字10桁のカードが表示されます。値には数値のほか、pi/2 のような定数の式も使えます。その点で導関数が存在しない場合は、カードに「この点では定義されていません」と表示されます。

例：関数 3x^2 + 2x、導関数 6x + 2、求める点 2 のとき、f'(2) = 14 です。

x以外の変数で微分する

初期状態では x で微分します。t など別の文字で微分したいときは、オプションの微分する変数を変更してください。関数の中の他の文字はすべて定数として扱われ、どの文字が定数かは計算機が知らせます。たとえば a sin(t) を t で微分すると a cos(t) になります。

sin x の微分・e^x の微分・log x の微分、平方根の微分の例

積の微分と合成関数の微分：

x^2 sin(x) は 2x sin(x) + x^2 cos(x)
ln(x^2 + 1) は 2x/(x^2 + 1)
(x^2 + 1)^3 は 6x(x^2 + 1)^2

商、根、指数関数：

sin(x)/x は (x cos(x) - sin(x))/x^2
cbrt(x) は 1/(3x^(2/3))
2^x は 2^x ln(2)

積・商・合成の微分で得られた結果は1つの式にまとめられますが、完全に因数分解されるとは限りません。そのため、教科書の答えと見た目が少し違っても、等しい場合があります。結果は約90個のテスト関数で、数値的な差分商と照らし合わせて確認しています。

この微分計算機でできないこと

求められるのは、1変数関数の1階導関数だけで、結果のみを表示します。途中の計算過程は出ません。陰関数の微分、偏微分、高階導関数、積分には対応していません。erf、floor、ceil、round、sign、gamma、階乗、区分的に定義された関数は微分できず、試すと「erf はまだ微分できません。」のように関数名つきのメッセージが出ます。

よくある質問

微分電卓のように、ある点での微分係数を求めるにはどうしますか？

関数を入力し、「オプション」を開いて「導関数の値を求める点」に点を入力します。その点での導関数の値が、有効数字10桁のカードで表示されます。点には 2 のような数値や、pi/2 のような定数の式が使えます。3x^2 + 2x を 2 で評価すると、カードには 14 と表示されます。

sin(x)/x の微分はどうなりますか？

商の微分法により、sin(x)/x の導関数は (x cos(x) - sin(x))/x^2 です。「関数」の欄に sin(x)/x と入力すると、すでに1つの分数にまとめた形で、そのとおりの結果が出ます。

e^x の微分と log x の微分はどうなりますか？

e^x の導関数は e^x、ln x の導関数は 1/x です。「関数」の欄に e^x や ln(x) と入力してください。この計算機では ln も log も自然対数として扱い、log(x, 2) は底が2の対数になります。

平方根や立方根の微分はどう入力しますか？

平方根は sqrt(x)、立方根は cbrt(x) と入力します。cbrt(x) の導関数は 1/(3x^(2/3))、sqrt(x) の導関数は 1/(2 sqrt(x)) と表示されます。x^(1/3) のように分数のべき乗でも書けます。

x以外の変数で微分するには？

「オプション」を開き、「微分する変数」に t などの文字を入力します。関数の中の他の文字は定数として扱われるので、a sin(t) は a cos(t) になります。変数は1文字で、e はネイピア数用に予約されているため使えません。

この微分計算機は計算の途中経過を表示しますか？

いいえ。表示するのは最終的な導関数だけで、途中の計算過程は出ません。積・商・合成関数の導関数は1つの式にまとめられるので、積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使って自分で確かめることができます。

偏微分、陰関数の微分、2階微分はできますか？

いいえ。求められるのは1変数関数の1階導関数です。陰関数の微分、偏微分、高階導関数、積分、区分的に定義された関数には対応していません。erf、floor、ceil、round、sign、gamma、階乗などの関数は、まだ微分できないというメッセージが表示されます。

入力した関数はサーバーに送信されますか？

いいえ。式はお使いのブラウザ内で読み取られて微分されるため、入力した内容はどこにも送信されません。アカウントや登録も必要ありません。