時間膨脹公式：高速移動的時鐘會慢多少
這個工具依狹義相對論套用時間膨脹公式。你只要輸入移動物體的速度，再在其中一個時鐘輸入時間，另一個時鐘會立刻填入，旁邊還會顯示勞侖茲因子。以 c 的 90% 前進的太空船上過一年，對靜止的觀察者來說是 2.2941573 年。不需要按任何按鈕，所有運算都在你的瀏覽器中完成，不會上傳任何內容。
如何使用：四個步驟
照著下面的步驟操作：
- 設定速度。速度欄位一開始是 90，單位為 % c，也就是光速的 90%。數值必須大於或等於 0，並且小於光速。
- 在其中一個欄位輸入時間。移動物體的時間是旅行者自己的時鐘，靜止觀察者的時間則是沒有移動的人的時鐘。你在一個欄位輸入，另一個會隨著輸入同步算出。
- 查看勞侖茲因子。卡片會顯示 γ 與「移動中的時鐘走得慢這麼多倍」這一行。
- 需要時更換單位：按下單位，速度可選 % c、km/s 或 mph，時間可選年、天、小時或秒。
範例：速度 90 % c，移動物體的時間 1 年，靜止觀察者的時間 2.2941573 年，勞侖茲因子 γ = 2.294157。
時間膨脹公式與勞侖茲因子
在狹義相對論中，以固定速度移動的時鐘，從靜止的一方看來會走得比較慢。這個效應的大小由勞侖茲因子決定：
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
其中 v 是速度，c 是光速，約為 299,792.458 km/s。兩段時間透過 γ 連結：
- 從移動到靜止：靜止觀察者的時間 = γ × 移動物體的時間。
- 從靜止到移動：移動物體的時間 = 靜止觀察者的時間 ÷ γ。
這就是兩個欄位會連動的原因：你輸入的那一欄是輸入值，另一欄是結果。因為 γ 不會小於 1，所以觀察者的時間一定比較長。
狹義相對論的時間膨脹：常見速度的數值
速度單位為 % c 時，移動時鐘上的一年，對靜止觀察者來說相當於多久：
- c 的 10%：γ = 1.005038
- c 的 50%：γ = 1.154701
- c 的 60%：γ = 1.25
- c 的 80%：γ = 1.666667
- c 的 90%：γ = 2.294157
- c 的 99%：γ = 7.088812
- c 的 99.9%：γ = 22.366272
- c 的 99.9999%：γ = 707.106958
接近光速時的暴增，正是這個公式的重點。從 90% 到 99% 的 c，γ 變成三倍以上；到 99.9999% 的 c，船上的一年相當於外面約 707 年。
時間膨脹與光速：速度不能等於 c
速度剛好等於 c 時，勞侖茲因子會變成除以零，所以沒有答案。因此速度欄位只接受大於或等於 0、且小於光速的數值。超出範圍時會顯示「請輸入 0 到光速之間（不含光速）的速度。」不過像 99.9999 這樣非常接近的數值還是可以輸入。
單位與這個工具不處理的範圍
按下單位會開啟兩項設定。速度單位可選 % c、km/s 與 mph，時間單位可選年、天、小時與秒。切換時，已輸入的數字會換算而不是被清除，所以 c 的 90% 會變成約 269,813 km/s。一年採用儒略年，也就是 365.25 天；c 約為 670,616,629 mph。欄位也接受 2.5e3 這種科學記號。
這個工具處理的是相對速度固定的狹義相對論。重力、加速度與黑洞屬於廣義相對論，不在計算範圍內，也不會輸出長度收縮或相對論性質量。至於雙生子悖論，只提供等速飛行的那一段，不包含掉頭時的加速。
常見問題
要怎麼求出時間膨脹？
先求出勞侖茲因子，再做乘法或除法。因子為 γ = 1 / √(1 − v²/c²)，v 是速度，c 是光速。靜止觀察者的時間是移動時鐘時間的 γ 倍，移動時鐘的時間則是觀察者的時間除以 γ。以 0.6c 來說 γ = 1.25，所以船上的 10 年對觀察者是 12.5 年。
勞侖茲因子是什麼？
它是數值 γ（伽瑪），表示移動中的時鐘，從沒有跟著移動的人看來會慢幾倍。靜止時等於 1，速度越接近光速就無限增大。在 c 的 90% 是 2.294157，99% 約為 7.0888，99.9999% 約為 707。
光速的 90% 時，時間膨脹有多大？
在 c 的 90%，勞侖茲因子是 2.294157，所以移動物體時鐘上的一年，對靜止觀察者是 2.2941573 年。這也是頁面載入時的預設範例。在移動物體的時間輸入 10，觀察者的時間會顯示 22.941573 年。
光速的一半時，時間膨脹有多大？
在 c 的 50%，γ = 1.154701，移動的時鐘大約慢了 13.4%：船上的一年約為觀察者的 1.1547 年，相差大約 56 天。
速度到達光速時，時間會怎麼樣？
公式在那裡沒有答案：當 v = c，勞侖茲因子會除以零，而且在狹義相對論中，有質量的物體無法達到光速。這個工具接受 0 到光速之間（不含光速）的速度。不過輸入 99.9999 就能非常接近，γ 約為 707。
速度要多快才會明顯感覺到時間膨脹？
要達到光速的相當比例才會明顯。在 c 的 1%，γ 是 1.00005，每年只差約 26 分鐘。在 10%，γ 是 1.005038，每年約差 1.8 天。接近 50% 時差距約 15%，超過 90% 後就會快速增大。以汽車、飛機和火箭的速度來看，差距小到根本察覺不到。
這個工具能處理重力造成的時間膨脹、加速度或黑洞嗎？
不能。它只處理狹義相對論：兩個相對速度固定的物體。重力、加速度與黑洞視界需要其他公式，這個工具並不處理。它也不輸出長度收縮或相對論性質量，除了另一個時鐘的時間之外，只會顯示勞侖茲因子。
可以用來看雙生子悖論嗎？
只能看簡化的部分。只要速度固定，旅行的雙胞胎與留在家裡的雙胞胎的時間就由同一個 γ 連結，所以你可以看到以 0.99c 旅行 20 年，觀察者那邊約過了 141.8 年。造成悖論的掉頭加速並沒有納入，所以請把結果當作等速飛行的那一段。
我輸入的內容會被上傳嗎？
不會。公式在你輸入時於瀏覽器中運算，不會傳送到任何地方。
