單位圓三角函數：拖曳圓點看 sin、cos、tan
拖曳藍色圓點繞著單位圓移動，就能看到 sin、cos、tan 隨角度變化。每個數值都畫成一條彩色線段，不必背表，你就能看出數值從哪裡來。一切都在瀏覽器中運作，不必上傳檔案，也不用註冊帳號。
單位圓的使用方式
- 用滑鼠或手指拖曳藍色圓點繞著圓移動。圓點會以整數度數跳動，所以 90° 與 270° 都能精準對到。上方的讀數（一開始是 θ 45°）會跟著圓點變化。
- 也可以在「角度」欄位直接輸入。度數可輸入 0 到 360，弧度可輸入 0 到 6.2832，超出範圍時會出現提示。
- 想微調時，先讓圓點取得焦點，按方向鍵每次移動 1 度，按 Page Up 或 Page Down 每次移動 15 度，按 Home 回到 0。
- 查看數值面板：sin θ、cos θ、tan θ 的卡片會在每個位置更新，顯示到小數點後 4 位。
單位圓定義與彩色線段的意思
圓的半徑是 1，所以從正 x 軸逆時針量起、角度為 θ 的點（小弧線）位在 (cos θ, sin θ)。每個函數都對應一條線段與一張卡片。
- sin θ（橘色）：從 x 軸向上到圓點的垂直線段，長度就是圓點的高度(y)。
- cos θ（綠色）：從圓心沿 x 軸延伸的水平線段，長度就是圓點的寬度(x)。
- tan θ（紫色）：落在切線 x = 1 上的垂直線段。從圓心經過圓點的虛線射線會碰到這條線，碰到的高度就是 tan θ，所以 tan θ = sin ÷ cos。
線段跑到軸的另一側，代表數值為負：cos 線段在第二、第三象限朝左，sin 線段在第三、第四象限朝下。
單位圓三角函數值：常見角度一覽
這些是卡片在幾個常見角度顯示的數值，你可以把圓點拖到各角度自己驗證。
- 0°: sin 0.0000 · cos 1.0000 · tan 0.0000
- 30°: sin 0.5000 · cos 0.8660 · tan 0.5774
- 45°: sin 0.7071 · cos 0.7071 · tan 1.0000
- 60°: sin 0.8660 · cos 0.5000 · tan 1.7321
- 90°: sin 1.0000 · cos 0.0000 · tan 無定義
- 120°: sin 0.8660 · cos -0.5000 · tan -1.7321
- 210°: sin -0.5000 · cos -0.8660 · tan 0.5774
為什麼 90° 與 270° 的 tan 無定義
在 90° 與 270°，圓點正好位於圓心正上方或正下方，cos θ 等於 0，sin ÷ cos 的除法沒有答案。虛線射線永遠碰不到直線 x = 1，紫色線段會消失，卡片顯示「無定義」。
sec θ 在這兩個角度也一樣。csc θ 與 cot θ 則是 sin θ 等於 0 時無定義，也就是 0°、180° 與 360°。
度與弧度的切換
用「單位」切換，可以把讀數與「角度」欄位在「度」和「弧度」之間轉換。弧度以小數顯示：90° 是 1.5708 rad，180° 是 3.1416 rad，轉一整圈是 6.2832 rad。圖形與數值不變，改變的只是角度的寫法。
正割、餘割與餘切
勾選顯示正割、餘割與餘切，就會加入三個倒數函數：sec θ(1 ÷ cos)、csc θ(1 ÷ sin)與 cot θ(cos ÷ sin)。在圖上，sec 是 x 軸上的深紅色線段，csc 是 y 軸上的藍綠色線段，cot 是沿著直線 y = 1 的琥珀色線段，並附上圓點處與圓相切的虛線切線。
想在圖表上看同一條正弦波，可以在繪圖計算機畫出 y = sin(x)。想了解 sin 與 cos 的斜率，可試試微分計算機。需要三角函數以外的圓形計算，可使用圓面積計算機。
常見問題
單位圓上的 tan 是怎麼表示的?
tan 就是 sin ÷ cos，在單位圓上它是一段看得見的長度。從圓心畫一條經過圓點的射線，延伸到垂直線 x = 1，碰到的高度就是 tan θ。圖上的紫色線段就是它。在 45° 時射線碰到高度 1，所以 tan 45° 是 1.0000。
為什麼 tan 90 無定義?
在 90° 時圓點正好在圓心正上方，cos θ 等於 0，tan θ = sin ÷ cos 就變成 1 除以 0。從幾何來看，經過圓心與圓點的射線和直線 x = 1 平行，永遠不會相交，所以沒有 tan 線段可畫。把圓點拖到 90° 或 270°，tan θ 會顯示「無定義」，紫色線段也會消失。
為什麼 cos 90 等於零?
cos θ 是圓點的水平位置(x)。在 90° 時圓點正好在圓心正上方，x 位置是 0，綠色的 cos 線段縮成一點。卡片顯示 0.0000，而圓點位在最高處，所以 sin θ 是 1.0000。
正割、餘割與餘切是什麼?
它們是三個主要函數的倒數：sec θ = 1 ÷ cos θ、csc θ = 1 ÷ sin θ、cot θ = cos ÷ sin。開啟「顯示正割、餘割與餘切」，就會把它們的卡片與線段加到圖上。sec 在 90° 與 270° 無定義，csc 與 cot 在 0°、180° 與 360° 無定義。
怎麼用單位圓找出 sin 和 cos?
直接讀圓點的座標。角度 θ 的圓點位在 （cos θ, sin θ）：cos θ 表示它在圓心左右多遠，sin θ 表示它在 x 軸上下多遠。在 30° 時，卡片顯示 sin 0.5000 與 cos 0.8660。在圓心左側與 x 軸下方，數值會變成負的，例如 210° 時兩者都是負數。
可以用弧度代替度數嗎?
可以。把「單位」從「度」切換成「弧度」，θ 的讀數與「角度」欄位就改用弧度，範圍是 0 到 6.2832。弧度以小數顯示，而不是 π 的倍數，所以 90° 會顯示為 1.5708 rad，180° 會顯示為 3.1416 rad。
