切線方程式：指定點的斜率與切線
輸入函數和 x 值，就能求出切線方程式：工具會顯示該點的斜率，以及 y = mx + b 形式的切線。導函數也會化簡後，以課本的寫法呈現。只顯示最後結果，不顯示計算步驟，在瀏覽器中運作，不需註冊。
求切線方程式的步驟
要求出指定點的切線，請照下面的步驟做：
- 在函數欄位輸入函數，例如
x^2 + 2x。 - 在 x 值（選填）輸入點的位置，例如
3。 - 斜率看斜率卡片，切線的式子看切線卡片。
這個例子中，導函數是 2x + 2，x = 3 處的斜率是 8，切線是 y = 8x − 9。
停止輸入約十分之一秒後，結果就會更新。算式只輸入一半時，會保留上一次的結果，並在一秒後把它變淡。x 值留空的話，就只顯示導函數。
切線方程式公式：斜率與截距怎麼算
函數在某個點的斜率，就是導函數在該點的值：m = f'(a)。切線通過點 (a, f(a))，斜率就是 m，所以截距是 b = f(a) − m·a。這就是常說的切線公式。
以 x^2 + 2x 在 3 為例，導函數是 2x + 2，所以 m = 8。函數值是 f(3) = 15，因此 b = 15 − 8·3 = −9，切線是 y = 8x − 9。算式採用課本的寫法：不會出現 1x 或 + 0，斜率為 0 時只寫 y = b。
用微分找切線方程式：更多例子
根號、對數與指數函數：
sqrt(x)在 4：斜率 0.25，切線y = 0.25x + 1ln(x)在 1：斜率 1，切線y = x − 1e^x在 0：斜率 1，切線y = x + 1
水平的切線例如 sin(x) 在 pi/2：斜率是 0，切線是 y = 1。
x 值可以是數字，也可以是像 pi/2 這樣的常數運算式。導函數中的分數與符號會保持精確，例如 cbrt(x) 的導函數是 1/(3x^(2/3))；輸入像 0.5x^2 這樣的小數，導函數也會保留小數。斜率與切線以 8 位有效數字顯示。
函數的輸入方式
次方寫成 x^2，乘法寫成 3x 或 2*x，函數可輸入 sin(x)、sqrt(x)、e^x、ln(x)。函數名稱後面要加括號，例如 sin(2x)。
x^2、x^(1/3)：次方（包含分數與負的次方）3x、2*x、x(x+1)：乘法（寫出乘號或省略都可以）pi、e：圓周率與自然對數的底ln(x)、log(x)、log10(x)、log2(x)：對數sqrt(x)、cbrt(x)、abs(x)、exp(x)：平方根、立方根、絕對值、e 的 x 次方
支援三角函數（sin、cos、tan 等，以及它們的反函數）和雙曲函數（sinh、cosh、tanh 等）。不支援 floor、ceil、round、gamma 和 erf。
弧度與度
開啟設定，在三角函數的角度底下選擇弧度（預設）或度。選擇度時，sin(x) 代表 x 度的正弦，反三角函數會回傳度，x 值也會以度來讀取。因為 1 度等於 pi/180 弧度，導函數會多出 pi/180 的係數，結果下方會有一則說明。
以度為例：函數 sin(x)、x 值 0，斜率是 0.017453293（也就是 pi/180），切線是 y = 0.017453293x。
沒有斜率的情況與工具的限制
函數在某一點沒有唯一的斜率時，卡片會顯示「在這一點沒有定義（這裡沒有唯一的斜率）」。會出現這種情況的有：sqrt(x) 在 0（切線是垂直的）、abs(x) 在 0（尖角）、1/x 在 0、ln(x) 在負數，以及 tan(x) 在 pi/2。如果函數用了其他字母，例如 a*x，卡片會顯示「無法計算：a 沒有值」，直到你把字母換成數字。
這個工具求的是 x 的函數的一階導函數，以及一個點上的切線，而且只顯示結果。它不提供計算步驟，也不處理隱函數、參數式或極座標曲線，不處理偏導數或高階導數，也不能對 x 以外的字母微分。需要這些功能，或要求不限定某一點的導函數時，請使用微分計算機。
常見問題
切線方程式要怎麼求？
在「函數」欄位輸入函數，在「x 值（選填）」欄位輸入點。「切線」卡片就會以 y = mx + b 的形式顯示直線。x^2 + 2x 在 x = 3 的斜率是 8，卡片顯示 y = 8x − 9。手算時，斜率 m 是該點的導函數，b 則是 f(a) − m·a，其中 a 是 x 值。
切線的斜率要怎麼算？
切線的斜率就是導函數在該點的值。輸入函數和 x 值，斜率卡片會以 8 位有效數字顯示。x 值可以是數字，也可以是像 pi/2 這樣的常數運算式。sqrt(x) 在 4 的斜率是 0.25。
求切線方程式時，用微分要做哪些步驟？
先對函數微分，把點代入導函數得到斜率 m，再算出 f(a)，用 b = f(a) − m·a 求出截距，切線就是 y = mx + b。這個工具會替你完成這些步驟，只顯示結果。
用度計算時，sin x 的導函數是什麼？
如果 x 以度為單位，sin(x) 的導函數是 (π/180)·cos(x)，因為 1 度等於 π/180 弧度。開啟「設定」，把「三角函數的角度」改成「度」，工具就會自動套用這個係數：sin(x) 在 x = 0 的斜率是 0.017453293。
會顯示計算步驟嗎？
不會。它會顯示讀取到的函數、化簡後的導函數、該點的斜率和切線，但不顯示計算過程。本頁的範例示範了斜率與截距的求法，你可以自己用手算核對每個數字。
能求參數式、極座標或隱函數曲線的切線嗎？
不能。它處理的是寫成 y 對 x 的函數，而且只對 x 微分。參數式、極座標與隱函數曲線、偏導數和二階導數都不支援。
能用來做切線近似（線性近似）嗎？
可以，用在直線本身。切線 y = mx + b 就是函數在你的 x 值附近的線性近似，你可以讀出式子，再自己代入附近的 x。工具不會計算第二個點上的近似值，也不會給出誤差。
「在這一點沒有定義（這裡沒有唯一的斜率）」是什麼意思？
表示函數在那個 x 值沒有唯一的切線斜率。會出現在尖角，例如 abs(x) 在 0；垂直切線，例如 sqrt(x) 在 0；函數值趨向無限大，例如 1/x 在 0；超出定義域，例如 ln(x) 在負數；以及 tan(x) 在 pi/2。
我輸入的函數會傳到伺服器嗎？
不會。函數是在你的瀏覽器中讀取和微分的，所以你輸入的內容不會傳送到任何地方，也不需要帳號或註冊。
