접선의 방정식 구하는 법: 한 점에서의 접선
접선의 방정식 구하는 법이 궁금할 때, 함수와 x 값을 입력하면 그 점에서의 기울기와 접선의 방정식이 y = mx + b 꼴로 나와요. 도함수도 간단한 형태로 정리해서 교과서처럼 보여 줘요. 풀이 과정 없이 결과만 보여 주고, 브라우저 안에서 동작해서 가입이 필요 없어요.
접선 구하는 법: 한 점에서의 접선 계산 순서
한 점에서의 접선은 다음 순서로 구해요.
- 함수 칸에 함수를 입력하세요. 예:
x^2 + 2x - x 값 (선택) 칸에 점을 입력하세요. 예:
3 - 기울기는 기울기 카드에서, 접선의 식은 접선 카드에서 확인하세요.
이 예에서 도함수는 2x + 2, x = 3에서의 기울기는 8, 접선은 y = 8x − 9예요.
입력을 멈춘 뒤 약 0.1초 후에 결과가 갱신돼요. 식이 덜 입력된 동안에는 마지막 결과를 유지하고, 1초 뒤에 흐리게 보여 줘요. x 값을 비워 두면 도함수만 표시돼요.
접선의 방정식 구하기: 기울기와 절편 계산
한 점에서의 함수의 기울기는 그 점에서의 도함수 값이에요: m = f'(a). 접선은 점 (a, f(a))를 그 기울기로 지나므로 절편은 b = f(a) − m·a가 돼요.
x^2 + 2x를 x = 3에서 보면 도함수는 2x + 2이므로 m = 8이에요. 함숫값은 f(3) = 15이므로 b = 15 − 8·3 = −9이고, 접선은 y = 8x − 9예요. 식은 교과서처럼 써서 1x나 + 0은 나타내지 않고, 기울기가 0이면 y = b만 보여 줘요.
접선의 기울기 구하는 법: 다른 예시
제곱근, 로그, 지수함수의 예예요.
- 4에서의
sqrt(x): 기울기 0.25, 접선y = 0.25x + 1 - 1에서의
ln(x): 기울기 1, 접선y = x − 1 - 0에서의
e^x: 기울기 1, 접선y = x + 1
수평인 접선은 pi/2에서의 sin(x)처럼 기울기가 0일 때 나오고, 접선은 y = 1이에요.
x 값에는 숫자나 pi/2 같은 상수 식을 쓸 수 있어요. 도함수에서는 분수와 기호가 정확한 값으로 유지돼서, 예를 들어 cbrt(x)의 도함수는 1/(3x^(2/3))이에요. 0.5x^2처럼 소수로 입력하면 도함수도 소수로 나와요. 기울기와 접선은 유효숫자 8자리로 표시돼요.
함수 입력하는 법
거듭제곱은 x^2, 곱셈은 3x 또는 2*x로 쓰고, 함수는 sin(x), sqrt(x), e^x, ln(x)처럼 입력하세요. 함수 이름 뒤에는 sin(2x)처럼 괄호를 붙여요.
x^2,x^(1/3): 거듭제곱 (분수와 음수 지수도 가능)3x,2*x,x(x+1): 곱셈 (기호를 쓰거나 생략)pi,e: 원주율과 오일러 수ln(x),log(x),log10(x),log2(x): 로그sqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): 제곱근, 세제곱근, 절댓값, e의 x제곱
삼각함수(sin, cos, tan 등과 그 역함수)와 쌍곡함수(sinh, cosh, tanh 등)를 지원해요. floor, ceil, round, gamma, erf는 지원하지 않아요.
라디안과 도 바꾸기
설정을 열고 삼각함수의 각도에서 라디안(기본값) 또는 도를 선택하세요. 도를 선택하면 sin(x)는 x도의 사인을 뜻하고, 역삼각함수는 도 단위로 값을 돌려주며, x 값도 도로 읽어요. 1도는 pi/180 라디안이므로 도함수에 pi/180 계수가 붙고, 결과 아래의 안내문이 이를 알려 줘요.
도 단위 예시: 함수 sin(x), x 값 0이면 기울기는 0.017453293(pi/180)이고 접선은 y = 0.017453293x예요.
기울기가 없는 경우와 지원하지 않는 계산
함수의 기울기가 하나로 정해지지 않는 점에서는 카드에 “이 점에서는 정의되지 않아요 (기울기가 하나로 정해지지 않아요)”라고 나와요. 0에서의 sqrt(x)(접선이 수직), 0에서의 abs(x)(꺾이는 점), 0에서의 1/x, 음수에서의 ln(x), pi/2에서의 tan(x)가 그런 경우예요. a*x처럼 다른 문자를 쓰면 그 문자를 숫자로 바꿀 때까지 “계산할 수 없어요. a의 값이 없어요.”라고 나와요.
이 도구는 x에 대한 함수의 1계도함수와 한 점에서의 접선을 구해서 결과만 보여 줘요. 풀이 과정은 나오지 않고, 음함수·매개변수·극좌표 곡선, 편도함수나 고계도함수, x 이외의 문자에 대한 미분은 지원하지 않아요. 이런 계산이나 점과 상관없는 도함수가 필요하면 미분 계산기를 사용하세요.
자주 묻는 질문
접선의 방정식 구하는 법은 무엇인가요?
“함수” 칸에 함수를, “x 값 (선택)” 칸에 점을 입력하세요. 그러면 “접선” 카드에 y = mx + b 꼴로 직선이 나와요. x^2 + 2x를 x = 3에서 보면 기울기는 8, 접선은 y = 8x − 9예요. 손으로 풀 때는 기울기 m이 그 점에서의 도함수이고, b는 f(a) − m·a예요. a는 x 값이에요.
접선의 기울기 구하는 법은 무엇인가요?
접선의 기울기는 그 점에서의 도함수 값이에요. 함수와 x 값을 입력하면 기울기 카드에 유효숫자 8자리로 표시돼요. x 값에는 숫자나 pi/2 같은 상수 식을 쓸 수 있어요. 4에서의 sqrt(x)는 기울기가 0.25예요.
접선의 방정식 구하기를 손으로 하려면 어떻게 하나요?
먼저 함수를 미분해서 점 a에서의 기울기 m = f'(a)를 구하고, f(a)를 계산해서 b = f(a) − m·a를 구해요. 그러면 접선은 y = mx + b예요. 이 도구는 그 두 단계를 대신 계산해서 결과만 보여 줘요.
도 단위로 쓴 sin x의 도함수는 무엇인가요?
x를 도로 잴 때 sin(x)의 도함수는 (π/180)·cos(x)예요. 1도가 π/180 라디안이기 때문이에요. “설정”을 열고 “삼각함수의 각도”를 “도”로 바꾸면 이 계수가 자동으로 적용돼요. x = 0에서 sin(x)의 기울기는 0.017453293이에요.
풀이 과정도 보여 주나요?
아니요. 읽어 들인 함수, 간단히 한 도함수, 그 점에서의 기울기, 접선은 보여 주지만 풀이 과정은 보여 주지 않아요. 이 페이지의 계산 예시에서 기울기와 절편을 구하는 방법을 볼 수 있어서, 각 숫자를 직접 확인할 수 있어요.
매개변수, 극좌표, 음함수 곡선의 접선도 구할 수 있나요?
아니요. y를 x의 식으로 나타낸 함수만 다루고, 미분도 x에 대해서만 해요. 매개변수·극좌표·음함수 곡선, 편도함수, 이계도함수는 지원하지 않아요.
접선 근사(일차 근사)에 쓸 수 있나요?
직선 자체에는 쓸 수 있어요. 접선 y = mx + b는 x 값 근처에서 함수의 일차 근사라서, 식을 읽고 가까운 x를 직접 대입하면 돼요. 두 번째 점에서의 근삿값이나 오차는 계산하지 않아요.
“이 점에서는 정의되지 않아요 (기울기가 하나로 정해지지 않아요)”는 무슨 뜻인가요?
그 x 값에서 접선의 기울기가 하나로 정해지지 않는다는 뜻이에요. 0에서의 abs(x)처럼 꺾이는 점, 0에서의 sqrt(x)처럼 수직인 접선, 0에서의 1/x처럼 값이 발산하는 점, 음수에서의 ln(x)처럼 정의역 밖, pi/2에서의 tan(x)에서 나타나요.
입력한 함수가 서버로 전송되나요?
아니요. 함수를 읽고 미분하는 일은 브라우저 안에서 이루어져서, 입력한 내용은 어디로도 전송되지 않아요. 가입도 필요 없어요.
