미분 계산기: 함수의 도함수 구하기
이 미분 계산기는 입력한 함수의 도함수를 입력하는 대로 정확하게 구해서, 교과서처럼 정리된 모양으로 함수 옆에 보여 줘요. 점을 하나 지정하면 그 점에서의 도함수 값도 알려 줘요. 보여 주는 것은 최종 도함수뿐이고, 풀이 과정은 나오지 않아요. 모든 계산이 브라우저 안에서 이루어지고 가입은 필요 없어요.
미분 계산 방법: 도함수가 나오기까지
입력하는 동안 계산이 진행돼요. 순서는 이래요.
- 함수 칸에 식을 입력하세요. 예를 들면
3x^2 + 2x예요. - 잠시 멈추면 결과 카드에 두 줄이 나타나요. 계산기가 읽은 f(x)와, 간단한 꼴로 정리한 도함수 f'(x)예요.
3x^2 + 2x의 경우6x + 2가 돼요. - 식을 바꾸면 결과도 함께 바뀌어요.
식을 반쯤 입력한 동안에는 직전의 올바른 결과를 남겨 두고, 1초 뒤에 흐리게 표시해요. 이때 “식이 완성될 때까지 마지막 결과를 유지해요.”라는 안내가 나와요. 답은 정확한 분수와 기호로 나오는데, 예를 들어 cbrt(x)의 도함수는 1/(3x^(2/3))으로 표시돼요. 0.5x^2처럼 소수로 입력하면 답도 소수로 나와요.
함수 미분 계산에 입력할 수 있는 식
스프레드시트나 공학용 계산기에서 쓰듯이 식을 쓰세요. 함수 이름 뒤에는 괄호를 붙여요. 예를 들면 sin(2x)예요. sin x처럼 문자나 숫자 하나만 쓰는 것도 인식하지만 sin 2x는 인식하지 못해요. 소수점은 마침표를 써요.
x^2,x^(1/3): 거듭제곱 (분수와 음수 지수도 가능)3x,2*x,x(x+1),2sin(x): 곱셈 (기호를 쓰거나 생략해도 돼요)ax: a 곱하기 x (a는 상수로 취급해요)pi또는π,e: 원주율과 오일러 수ln(x),log(x): 자연로그log(x, 2),log10(x),log2(x): 다른 밑의 로그sqrt(x),cbrt(x),nthRoot(x, 4): 제곱근, 세제곱근, n제곱근abs(x),exp(x): 절댓값, e의 x제곱
삼각함수는 sin, cos, tan, sec, csc, cot, 역함수는 asin, acos, atan (arcsin 등도 가능), 쌍곡함수는 sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth와 asinh 같은 역함수까지 지원해요.
미분계수 구하기: 한 점에서의 값
옵션을 열고 도함수 값을 구할 점에 값을 입력하세요. 그러면 f'(값) = 숫자 꼴로, 유효숫자 10자리까지 카드에 나와요. 값은 숫자나 pi/2 같은 상수식도 돼요. 그 점에서 도함수가 존재하지 않으면 카드에 “이 점에서는 정의되지 않아요”라고 나와요.
예: 함수 3x^2 + 2x, 도함수 6x + 2, 구할 점 2이면 f'(2) = 14예요.
x가 아닌 다른 변수로 미분하기
기본 변수는 x예요. t처럼 다른 문자로 미분하려면 옵션에서 미분할 변수를 바꾸세요. 함수 안의 나머지 문자는 모두 상수로 취급하고, 어떤 문자가 상수인지는 계산기가 알려 줘요. 그래서 a sin(t)를 t로 미분하면 a cos(t)가 돼요.
루트 미분, e^x 미분, ln x 미분, sin x 미분 예시
곱의 미분과 합성함수의 미분:
x^2 sin(x)는2x sin(x) + x^2 cos(x)ln(x^2 + 1)은2x/(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3은6x(x^2 + 1)^2
몫, 근, 지수함수:
sin(x)/x는(x cos(x) - sin(x))/x^2cbrt(x)는1/(3x^(2/3))2^x는2^x ln(2)
곱, 몫, 합성함수 미분으로 나온 결과는 하나의 식으로 합쳐지지만 항상 완전히 인수분해되지는 않아요. 그래서 교과서의 답과 모양이 조금 달라도 값은 같을 수 있어요. 결과는 약 90개의 시험 함수로 수치적인 평균변화율과 비교해 확인했어요.
이 미분 계산기가 하지 못하는 것
구해 주는 것은 변수 하나인 함수의 1계 도함수뿐이고, 결과만 보여 줘요. 풀이 과정은 나오지 않고, 음함수 미분, 편미분, 고계 도함수, 적분은 지원하지 않아요. erf, floor, ceil, round, sign, gamma, 팩토리얼, 구간별로 정의된 함수는 미분할 수 없어서, 시도하면 “erf 함수는 아직 미분할 수 없어요.”처럼 함수 이름이 들어간 안내가 나와요.
자주 묻는 질문
미분계수 구하기: 한 점에서의 값은 어떻게 구하나요?
함수를 입력하고 “옵션”을 열어 “도함수 값을 구할 점”에 점을 입력하세요. 그 점에서의 도함수 값이 유효숫자 10자리까지 카드에 나와요. 점은 2 같은 숫자나 pi/2 같은 상수식이 돼요. 3x^2 + 2x를 2에서 구하면 카드에 14가 나와요.
sin(x)/x를 미분하면 어떻게 되나요?
몫의 미분법으로 sin(x)/x의 도함수는 (x cos(x) - sin(x))/x^2예요. “함수” 칸에 sin(x)/x를 입력하면 이미 하나의 분수로 합쳐진 그대로의 결과가 나와요.
e^x 미분과 ln x 미분 결과는 무엇인가요?
e^x의 도함수는 e^x이고, ln x의 도함수는 1/x이에요. “함수” 칸에 e^x와 ln(x)를 입력하세요. 이 계산기는 ln과 log를 모두 자연로그로 보고, log(x, 2)는 밑이 2인 로그로 계산해요.
루트 미분은 어떻게 입력하나요?
제곱근은 sqrt(x), 세제곱근은 cbrt(x)로 입력하세요. cbrt(x)의 도함수는 1/(3x^(2/3)), sqrt(x)의 도함수는 1/(2 sqrt(x))로 나와요. x^(1/3)처럼 분수 지수로 써도 돼요.
x가 아닌 다른 변수로 미분하려면 어떻게 하나요?
“옵션”을 열고 “미분할 변수”에 t 같은 문자를 입력하세요. 함수 안의 나머지 문자는 상수로 취급하므로 a sin(t)는 a cos(t)가 돼요. 변수는 문자 하나여야 하고, e는 오일러 수로 예약되어 있어서 쓸 수 없어요.
미분 계산기가 풀이 과정도 보여 주나요?
아니요. 최종 도함수만 보여 주고 풀이 과정은 나오지 않아요. 곱, 몫, 합성함수의 도함수는 하나의 식으로 합쳐지기 때문에, 곱의 미분법, 몫의 미분법, 합성함수의 미분법으로 직접 확인해 볼 수 있어요.
편미분이나 음함수 미분, 이계도함수도 되나요?
아니요. 변수 하나인 함수의 1계 도함수만 구해요. 음함수 미분, 편미분, 고계 도함수, 적분, 구간별 함수는 지원하지 않고, erf, floor, ceil, round, sign, gamma, 팩토리얼 같은 함수는 아직 미분할 수 없다는 안내가 나와요.
입력한 함수가 서버로 전송되나요?
아니요. 식은 브라우저 안에서 읽고 미분하기 때문에 입력한 내용은 어디로도 전송되지 않아요. 계정이나 가입도 필요 없어요.
