인수분해 계산기: 이차식을 괄호의 곱으로
이 인수분해 계산기는 Ax² + Bx + C를 괄호의 곱으로 바꾸고, AC법의 풀이 과정을 하나씩 보여 줘요. 숙제 답을 확인하거나 내 풀이가 어디서 틀어졌는지 찾을 때 쓸 수 있어요. 공통인수를 묶어 내고, A가 음수인 경우도 처리하며, 완전제곱식과 제곱의 차도 알아봐요. 정수 범위에서 인수분해가 안 되면 그렇다고 분명하게 알려 줘요. 브라우저 안에서 계산하고, 입력한 숫자는 업로드되지 않아요.
인수분해 하는 법: 계산기 사용 순서
Ax² + Bx + C 꼴의 식은 다음 순서로 인수분해해요.
- x² 앞의 수를 A 칸에 입력해요. 처음 값은 1이고, A를 비워 두면 1로 계산해요.
- x 앞의 수를 B에, 숫자만 있는 항을 C에 입력해요. B나 C를 비워 두면 0으로 계산해요.
- 음수는 마이너스 기호를 직접 입력하거나, 칸 아래의 ±를 눌러 부호를 바꿔요. 휴대폰 숫자 키패드에는 마이너스 키가 없는 경우가 많은데, 그래서 만든 버튼이에요.
- 인수분해하기를 눌러요.
- 큰 글씨로 나오는 인수분해한 결과를 확인한 다음, 번호가 붙은 풀이 과정을 위에서부터 읽어 보세요.
2x² + 2x − 24라면 A에 2, B에 2, C에 −24를 입력해요. 어느 칸이든 바꾸면 결과가 지워지니, 수정한 뒤에는 버튼을 다시 눌러 주세요. −1,000,000부터 1,000,000 사이의 정수만 입력할 수 있어요. A를 0으로 하면 x² 항이 사라지기 때문에 A는 0이 될 수 없어요.
이차방정식 인수분해에 쓰는 AC법 풀이
AC법은 A가 1이 아닐 때도 Ax² + Bx + C를 인수분해할 수 있는 방법이에요. 어림짐작으로 푸는 방식이 막히는 곳에서 힘을 발휘해요. 계산기는 언제나 같은 순서로 진행해요. 최대공약수를 묶어 내고, 첫 번째 수와 마지막 수를 곱하고, 곱해서 그 값이 되고 더해서 B가 되는 두 정수를 찾고, 가운데 항을 나누고, 두 개씩 짝지어 묶은 뒤, 공통 괄호를 묶어 내요. 2x² + 5x + 3의 풀이는 다음과 같고, 결과는 (x + 1)(2x + 3)이에요.
- 2x² + 5x + 3에서 시작해요.
- 세 수에 공통인수가 없어서 먼저 묶어 낼 것이 없어요.
- 첫 번째 수와 마지막 수를 곱해요: 2 × 3 = 6.
- 곱하면 6, 더하면 5인 두 정수를 찾아요. 2와 3이에요. 2 × 3 = 6, 2 + 3 = 5이기 때문이에요.
- 그 두 수로 가운데 항을 둘로 나눠요: 2x² + 2x + 3x + 3.
- 항을 두 개씩 짝지어 각 짝에서 공통인수를 묶어 내요: (2x² + 2x) + (3x + 3) = 2x(x + 1) + 3(x + 1).
- 두 짝 모두에 (x + 1)이 들어 있으니 이 괄호를 묶어 내요: (x + 1)(2x + 3).
괄호는 x의 계수가 작은 쪽을 앞에 두고 보여 줘요. 교과서에는 (2x + 3)(x + 1)로 적혀 있어도 (x + 1)(2x + 3)으로 나올 수 있는데, 곱은 같아요. 학교에서 배우는 인수분해 풀이와 순서는 다르지만 얻는 답은 같아요.
공통인수가 있는 이차식의 인수분해 풀이
A, B, C에 공통인수가 있으면 2번째 과정에서 가장 먼저 묶어 내요. 2x² + 2x − 24라면 “최대공약수 2(으)로 묶어요: 2(x² + x − 12)”라고 나와요. 나머지 과정에서 x² + x − 12를 (x − 3)(x + 4)로 나누고, 마지막 과정에서 묶어 낸 2를 다시 앞에 붙여요: 2(x − 3)(x + 4).
A가 음수이면 괄호 안의 x² 항이 양수가 되도록 부호를 붙여서 묶어 내요. −x² + 5x − 6은 −(x − 3)(x − 2)가 돼요.
인수분해 공식: 완전제곱식과 제곱의 차
이런 경우에도 따로 고르는 모드는 없어요. 같은 과정이 실행되고, 답에 식의 꼴이 드러나요.
- A, B, C = 1, 6, 9 → (x + 3)². 완전제곱식: 두 괄호가 같아서 마지막 과정에서 제곱으로 써요.
- 1, 0, −9 → (x − 3)(x + 3). 제곱의 차: 두 수는 −3과 3이고, 가운데 항은 서로 없어져요.
- 3, 6, 0 → 3x(x + 2). C가 0이라서 3과 함께 x도 공통인수예요.
- 4, 0, 0 → 4x². x² 항만 있어서 4를 묶어 내면 더 나눌 수 없어요.
- −1, 5, −6 → −(x − 3)(x − 2). A가 음수: 먼저 −1을 묶어 내요.
- 1, 1, 1 → 기약. 조건에 맞는 정수 쌍이 없어요.
- 2, 2, 2 → 2(x² + x + 1). 2가 묶여 나오고, 괄호 안은 기약이에요.
이차식 인수분해가 안 되는 경우
공통인수를 묶어 낸 뒤에 곱해서 A × C, 더해서 B가 되는 두 정수가 없으면 계산기는 기약이라고 표시해요. 이때는 정수를 쓴 괄호의 곱으로 나타낼 수 없어요. 앞에서 공통인수를 묶어 냈다면, 그 인수가 기약인 부분 앞에 붙어서 나오고 답 아래에 안내가 표시돼요.
직접 해 볼 수 있는 간단한 확인법도 있어요. 정수 괄호의 곱이 되려면 B² − 4AC가 제곱수(0, 1, 4, 9, 16, …)여야 해요. x² + x + 1은 −3이라서 기약이에요. x² − 2는 8이고 제곱수가 아니라서 이것도 기약이에요.
이 계산기로 할 수 없는 것
이 계산기는 인수분해만 해요. x의 값을 구하거나 포물선 그래프를 그리지는 않아요. 소수와 분수는 안내 메시지와 함께 받지 않으니, 먼저 정수로 바꿔 주세요. 해가 필요하면 각 괄호를 0으로 놓고 직접 계산하면 돼요.
자주 묻는 질문
A가 1이 아닐 때 인수분해 방법은 무엇인가요?
AC법을 쓰면 돼요. A와 C를 곱하고, 곱해서 그 값이 되고 더해서 B가 되는 두 정수를 찾은 다음, 가운데 항을 그 두 수로 나누고, 두 개씩 짝지어 공통 괄호를 묶어 내요. 2x² + 5x + 3에서는 A × C가 6이고, 두 수는 2와 3이며, 결과는 (x + 1)(2x + 3)이에요. A, B, C에 2, 5, 3을 입력하면 계산기가 이 과정을 모두 보여 줘요.
AC법이란 무엇인가요?
AC법은 A가 1이 아닌 Ax² + Bx + C를 인수분해하는 방법이에요. A와 C를 곱하고, 곱해서 AC, 더해서 B가 되는 정수 쌍을 찾아 가운데 항을 둘로 나눠요. 그러면 네 항을 짝지어 묶는 방식으로 인수분해할 수 있어요. A가 1일 때도 쓸 수 있어서, 계산기는 모든 이차식에 같은 과정을 사용해요.
공통인수가 있는 이차식은 어떻게 인수분해하나요?
먼저 A, B, C의 최대공약수를 묶어 내고, 남은 식을 인수분해한 다음, 마지막에 공통인수를 다시 앞에 붙여요. 2x² + 2x − 24라면 풀이 과정이 2(x² + x − 12)로 시작해서 2(x − 3)(x + 4)로 끝나요. 세 수에 공통인수가 없으면 먼저 묶어 낼 것이 없다고 알려 줘요.
최고차항 계수가 음수인 이차식은 어떻게 인수분해하나요?
먼저 −1(또는 음수인 공통인수)을 묶어 내서 괄호 안의 x² 항이 양수가 되게 해요. A 옆의 ±를 눌러 음수로 바꾼 다음 “인수분해하기”를 눌러요. −x² + 5x − 6의 답은 −(x − 3)(x − 2)이고, 풀이 과정에는 처음에 −1을 묶어 내고 마지막에 다시 앞에 붙이는 모습이 나와요.
모든 이차식을 인수분해할 수 있나요?
정수를 쓴 괄호의 곱으로는 안 되는 식이 있어요. x² + x + 1이나 x² − 2 같은 식은 정수 인수가 없어서 계산기가 “기약”으로 표시해요. 해가 무리수나 복소수라서 정수 계수의 괄호의 곱으로 나타낼 수 없어요.
이차식이 인수분해가 안 되는지 어떻게 알 수 있나요?
공통인수를 묶어 낸 뒤에, 곱해서 A × C, 더해서 B가 되는 두 정수를 찾아요. 하나도 없으면 그 식은 기약이에요. 판별식으로도 같은 확인을 할 수 있어요. 정수 인수가 있으려면 B² − 4AC가 제곱수여야 해요. x² + x + 1은 곱해서 1, 더해서 1인 쌍이 없고 B² − 4AC가 −3이라서 기약이에요.
제곱의 차는 어떻게 인수분해하나요?
x² − 9 같은 제곱의 차는 (x − 3)(x + 3)이 돼요. A에 1을 입력하고, B는 비워 두고, C에 −9를 입력해요. 계산기는 평소와 같은 과정으로 답에 이르러요. A × C는 −9이고, 두 수는 −3과 3이며, 나눈 식은 x² − 3x + 3x − 9예요. 4x² − 25 같은 식도 같은 방식으로 풀려요.
완전제곱식은 어떻게 인수분해하나요?
x² + 6x + 9 같은 완전제곱식은 똑같은 두 괄호의 곱이 되고 (x + 3)²으로 써요. 1, 6, 9를 입력해요. 계산기는 3과 3의 쌍을 찾아 공통 괄호를 묶어 내서 (x + 3)(x + 3)을 얻고, 마지막으로 같은 괄호를 제곱으로 쓰는 과정을 더해요.
이 계산기로 이차방정식을 풀거나 해를 구할 수 있나요?
아니요. Ax² + Bx + C를 괄호의 곱으로 나누고 풀이 과정을 보여 줄 뿐, x의 값을 구하거나 그래프를 그리지는 않아요. 괄호의 곱을 얻은 뒤에는 각 괄호를 0으로 놓고 직접 이어서 풀 수 있어요. 2(x − 3)(x + 4)라면 x = 3과 x = −4가 나와요.
