Raaklijn berekenen: vergelijking en helling in een punt
Met deze rekenhulp kun je de raaklijn berekenen: je typt een functie en een x-waarde, en je ziet de helling in dat punt en de raaklijn in de vorm y = mx + b. De afgeleide wordt ook getoond, vereenvoudigd en netjes opgemaakt zoals in een schoolboek. Alleen het eindantwoord verschijnt, zonder tussenstappen. Het werkt in je browser, zonder account.
Raaklijn in een punt opstellen: zo doe je dat
Een raaklijn in een punt bepaal je in drie stappen:
- Typ de functie in het veld Functie, bijvoorbeeld
x^2 + 2x. - Typ het punt in x-waarde (optioneel), bijvoorbeeld
3. - Lees de helling af op de hellingskaart en de vergelijking op de kaart Raaklijn.
In het voorbeeld is de afgeleide 2x + 2, de helling bij x = 3 is 8 en de raaklijn is y = 8x − 9.
De uitkomst wordt ongeveer een tiende van een seconde nadat je stopt met typen bijgewerkt. Zolang een uitdrukking half getypt is, houdt de rekenhulp het laatste resultaat vast en dempt die het na een seconde. Laat de x-waarde leeg om alleen de afgeleide te zien.
Vergelijking van de raaklijn: zo wordt die berekend
De helling in een punt is de waarde van de afgeleide daar: m = f'(a). De raaklijn gaat door het punt (a, f(a)) met die helling, dus het snijpunt met de y-as is b = f(a) − m·a.
Voor x^2 + 2x bij 3 is de afgeleide 2x + 2, dus m = 8. De functiewaarde is f(3) = 15, dus b = 15 − 8·3 = −9 en de raaklijn is y = 8x − 9. De lijn wordt geschreven zoals in een schoolboek: zonder 1x, zonder + 0, en gewoon y = b als de helling 0 is.
Helling raaklijn berekenen: meer voorbeelden
Wortels, logaritmen en exponentiële functies:
sqrt(x)bij 4: helling 0,25, raaklijny = 0.25x + 1ln(x)bij 1: helling 1, raaklijny = x − 1e^xbij 0: helling 1, raaklijny = x + 1
Een horizontale raaklijn krijg je bijvoorbeeld bij sin(x) in pi/2: de helling is 0 en de raaklijn is y = 1.
De x-waarde mag een getal zijn of een constante uitdrukking zoals pi/2. Exacte breuken en symbolen blijven exact in de afgeleide, zoals 1/(3x^(2/3)) voor cbrt(x). Typ je een decimaal getal als 0.5x^2, dan houdt de afgeleide decimalen. Helling en raaklijn worden getoond met 8 significante cijfers.
Een functie invoeren
Schrijf machten als x^2, producten als 3x of 2*x, en functies zoals sin(x), sqrt(x), e^x en ln(x). Zet haakjes achter een functienaam, zoals in sin(2x).
x^2,x^(1/3): machten, ook met breuken en negatieve exponenten3x,2*x,x(x+1): vermenigvuldiging, uitgeschreven of implicietpi,e: de constanten pi en het getal van Eulerln(x),log(x),log10(x),log2(x): logaritmensqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): wortels, absolute waarde, e tot de macht x
Goniometrische functies (sin, cos, tan en de rest, met hun inverse) en hyperbolische functies (sinh, cosh, tanh en de rest) worden ondersteund. floor, ceil, round, gamma en erf niet.
Radialen of graden
Open Instellingen en kies Radialen (de standaard) of Graden onder Hoeken in de goniometrie. In graden betekent sin(x) de sinus van x graden, geven inverse goniometrische functies graden terug en wordt ook de x-waarde in graden gelezen. Omdat één graad pi/180 radialen is, krijgt de afgeleide een factor pi/180, en een opmerking onder het resultaat zegt dat.
Voorbeeld in graden: functie sin(x), x-waarde 0 geeft helling 0,017453293 (dat is pi/180) en raaklijn y = 0.017453293x.
Als er geen helling is, en wat de rekenhulp niet doet
Heeft een functie in een punt geen eenduidige helling, dan staat er op de kaart “niet gedefinieerd in dit punt (hier is geen eenduidige helling)”. Dat gebeurt bij sqrt(x) in 0 (de raaklijn is verticaal), bij abs(x) in 0 (een knik), bij 1/x in 0, bij ln(x) in een negatief getal en bij tan(x) in pi/2. Gebruikt de functie een andere letter, zoals in a*x, dan staat er “Kan niet berekenen: a heeft geen waarde” totdat je de letter vervangt door een getal.
De rekenhulp bepaalt de eerste afgeleide van een functie van x en de raaklijn in één punt, en toont alleen het resultaat. Er zijn geen tussenstappen, en impliciete, parametrische of poolkrommen, partiële of hogere afgeleiden en differentiëren naar een andere letter dan x worden niet ondersteund. Daarvoor, of voor een afgeleide zonder vast punt, gebruik je de Afgeleide calculator.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je de raaklijn in een punt?
Typ de functie in het veld “Functie” en het punt in “x-waarde (optioneel)”. De kaart “Raaklijn” toont dan de lijn als y = mx + b. Voor x^2 + 2x bij x = 3 is de helling 8 en de raaklijn y = 8x − 9. Met de hand is m de afgeleide in het punt en b = f(a) − m·a, waarbij a de x-waarde is.
Wat is de vergelijking van de raaklijn in een punt?
Het is de lijn y = mx + b die door het punt (a, f(a)) gaat met als helling m de afgeleide in dat punt. Voer de functie en de x-waarde in en de rekenhulp toont de vergelijking direct op de kaart “Raaklijn”.
Hoe bepaal ik de richtingscoëfficiënt van de raaklijn?
De richtingscoëfficiënt is de waarde van de afgeleide in het punt. Voer de functie en de x-waarde in, dan geeft de hellingskaart die waarde met 8 significante cijfers. De x-waarde mag een getal zijn of een constante uitdrukking zoals pi/2. Voor sqrt(x) bij 4 is de helling 0,25.
Wat is de afgeleide van sin x in graden?
Als x in graden is gemeten, is de afgeleide van sin(x) gelijk aan (π/180)·cos(x), omdat één graad π/180 radialen is. Open “Instellingen”, zet “Hoeken in de goniometrie” op “Graden” en de rekenhulp past die factor voor je toe: sin(x) bij x = 0 geeft een helling van 0,017453293.
Laat de rekenhulp de stappen zien?
Nee. Hij toont de functie zoals gelezen, de vereenvoudigde afgeleide, de helling in het punt en de raaklijn, maar niet de uitwerking. Het uitgewerkte voorbeeld op deze pagina laat zien hoe helling en snijpunt met de y-as worden gevonden, zodat je elk getal met de hand kunt nalopen.
Kan hij een raaklijn aan een parametrische, poolkromme of impliciete kromme vinden?
Nee. Hij werkt met een functie die is geschreven als y in x en differentieert alleen naar x. Parametrische, polaire en impliciete krommen, partiële afgeleiden en tweede afgeleiden worden niet ondersteund.
Kan ik hem gebruiken voor lineaire benadering?
Ja, voor de lijn zelf. De raaklijn y = mx + b is de lineaire benadering van de functie vlak bij je x-waarde, dus je kunt hem aflezen en zelf een nabije x invullen. De rekenhulp berekent de benadering niet in een tweede punt en geeft de fout niet.
Wat betekent “niet gedefinieerd in dit punt (hier is geen eenduidige helling)”?
De functie heeft bij die x-waarde geen eenduidige raaklijnhelling. Dat gebeurt bij een knik zoals abs(x) in 0, bij een verticale raaklijn zoals sqrt(x) in 0, waar de functie oploopt zoals 1/x in 0, buiten het domein zoals ln(x) in een negatief getal en bij tan(x) in pi/2.
Stuurt de rekenhulp mijn functie naar een server?
Nee. De functie wordt in je browser gelezen en gedifferentieerd, dus niets van wat je typt wordt ergens naartoe gestuurd, en er is geen account of aanmelding.
Aanbevolen
-
Casio fx-991ES Plus 2 wetenschappelijke rekenmachineControleer de helling bij x = a en bereken de raaklijn zelf tijdens het proefwerk.
-
TI-84 Plus CE grafische rekenmachineTeken de grafiek met zijn raaklijn en zie dat de helling klopt.
-
Leuchtturm1917 notitieboek A5, stippenSchets de kromme en de raaklijn op stippelpagina's, opgave na opgave.
Help de tools gratis te houden. ✨
Afbeeldingen dienen ter illustratie. Als Amazon-Partner verdien ik aan in aanmerking komende aankopen.
