時間の遅れ計算：動く時計はどれだけ遅れるか
特殊相対性理論にもとづく時間の遅れ計算のページです。動いている物体の速さを入れ、どちらかの時計に時間を入力すると、もう一方の時計の時間がその場で表示され、横にローレンツ因子も出ます。たとえば c の 90% で進む船の中の1年は、静止している観測者にとって2.2941573年です。押すボタンはなく、計算はすべてブラウザー内で行われ、入力した内容はアップロードされません。
時間の遅れ計算の使い方
手順は次の4つです。
- 速度を決めます。速度の欄は 90 で始まり、単位は % (c に対する割合)、つまり光速の90パーセントです。0 以上で、光速未満の値を入れてください。
- どちらかの欄に時間を入力します。動いている物体の時間は移動する人自身の時計、静止している観測者の時間は動かない人の時計です。片方に入力すると、もう片方が入力と同時に計算されます。
- ローレンツ因子を確認します。カードにはγと「動いている時計の進みが、この倍数だけ遅くなります」という行が出ます。
- 必要なら単位を変えます。単位を押すと、速度は % (c に対する割合)・km/s・mph、時間は年・日・時間・秒から選べます。
例：速度 90 % (c に対する割合)、動いている物体の時間 1年、静止している観測者の時間 2.2941573年、ローレンツ因子 γ = 2.294157。
時間の遅れ計算式：ローレンツ因子とは
特殊相対性理論では、一定の速さで動く時計は、静止している側から見ると遅れて進みます。その大きさを表すのがローレンツ因子です。
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
v は速さ、c は光速の 299,792.458 km/s です。2つの時間は γ で結ばれます。
- 動いている側から静止側へ：静止している観測者の時間 = γ × 動いている物体の時間
- 静止側から動いている側へ：動いている物体の時間 = 静止している観測者の時間 ÷ γ
2つの欄が連動しているのはこのためで、入力した側が入力値、もう一方が結果になります。γ は1より小さくならないので、観測者の時間は必ず長いほうになります。
時間の遅れ公式：よくある速度でのローレンツ因子
この時間の遅れ公式で、動いている時計の1年が静止した観測者にとってどれだけになるかを示します（速度の単位は % (c に対する割合)）。
- c の 10%：γ = 1.005038
- c の 50%：γ = 1.154701
- c の 60%：γ = 1.25
- c の 80%：γ = 1.666667
- c の 90%：γ = 2.294157
- c の 99%：γ = 7.088812
- c の 99.9%：γ = 22.366272
- c の 99.9999%：γ = 707.106958
上のほうでの跳ね上がりが、この式のいちばんの特徴です。90%から99%にすると γ は3倍以上になり、99.9999%では船内の1年が外の約707年に相当します。
時間の遅れと光速：c ちょうどは計算できない
速さが c ちょうどのときは、ローレンツ因子がゼロで割ることになるため答えがありません。そのため速度の欄には、0 以上で光速未満の値だけを入れられます。それ以上の値では「0 以上、光速未満の速度を入力してください。」と表示されます。それでも 99.9999 のようにごく近い値までは試せます。
単位と、このツールで扱わない範囲
単位を押すと2つの設定が開きます。速度の単位では % (c に対する割合)、km/s、mph、時間の単位では年、日、時間、秒を選べます。切り替えても入力済みの数値は消えず、換算されます。c の 90% は約 269,813 km/s になります。1年はユリウス年の365.25日で、c は約 670,616,629 mph です。欄には 2.5e3 のような指数表記も入力できます。
扱うのは、相対速度が一定の特殊相対性理論です。重力、加速、ブラックホールは一般相対性理論の範囲で、このツールでは計算しません。長さの収縮や相対論的質量も出力しません。双子のパラドックスについては、等速で進む区間だけを示し、折り返しの加速は含みません。
よくある質問
時間の遅れはどうやって計算しますか？
まずローレンツ因子を出し、その値を掛けるか割ります。因子は γ = 1 / √(1 − v²/c²) で、v は速さ、c は光速です。静止している観測者の時計の時間は、動いている時計の時間の γ 倍で、動いている時計の時間は観測者の時間を γ で割った値です。c の 0.6 倍なら γ = 1.25 なので、船内の10年は観測者にとって12.5年になります。
ローレンツ因子とは何ですか？
動いている時計が、一緒に動いていない人から見て何倍遅く進むかを表す数 γ（ガンマ）です。静止していれば1で、速さが光速に近づくと際限なく大きくなります。c の 90% では 2.294157、99% では約 7.0888、99.9999% では約 707 です。
光速に近い速さでは、時間の遅れはどのくらいですか？
c の 90% ではローレンツ因子が 2.294157 なので、動く物体の時計の1年は、静止している観測者にとって2.2941573年です。これはページを開いたときの初期値の例です。動く物体の時間に10と入力すると、観測者の時間は22.941573年になります。
光速の半分では、時間の遅れはどのくらいですか？
c の 50% では γ = 1.154701 で、動いている時計は約13.4パーセント遅れます。船内の1年は観測者にとって約1.1547年で、差はおよそ56日です。
光速に達すると時間はどうなりますか？
式に答えがありません。v = c ではローレンツ因子がゼロで割ることになり、特殊相対性理論では質量のあるものは光速に達せません。このツールは 0 以上で光速未満の速度を受け付けます。それでも 99.9999 と入力すれば、γ は約 707 になります。
どのくらいの速さから時間の遅れに気づきますか？
光速のかなりの割合に達するまでは、ほとんど気づきません。c の 1% では γ が 1.00005 で、1年あたり約26分です。10% では 1.005038 で、1年あたり約1.8日です。50% あたりで約15パーセントの差になり、90% を超えると急に大きくなります。車や飛行機、ロケットの速さでは、差が小さすぎて気づけません。
重力による時間の遅れや加速、ブラックホールも計算できますか？
できません。扱うのは特殊相対性理論だけで、相対速度が一定の2つの物体が対象です。重力、加速、ブラックホールの事象の地平面には別の式が必要で、このツールは扱いません。長さの収縮や相対論的質量も出力せず、もう一方の時計の時間のほかに表示するのはローレンツ因子だけです。
双子のパラドックスにも使えますか？
簡略化した部分だけ使えます。速さが一定の間は、旅をする側と残る側の時間が同じ γ で結ばれるので、たとえば c の 0.99 倍で20年旅したとき、観測者側では約141.8年たつことが分かります。パラドックスの原因である折り返しの加速は計算に入っていないので、結果は等速で進む区間のものとして見てください。
入力した内容はアップロードされますか？
いいえ。式は入力するたびにお使いのブラウザー内で計算され、どこにも送信されません。
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