複素数の極形式への変換
複素数を a + bi で入力すると、極形式 r∠θ がすぐに表示されます。逆に極形式を入力して直交形式を読むこともでき、結果カードには絶対値と偏角が並びます。計算はすべてブラウザの中で行われます。
複素数を極形式に変換する手順
- 直交形式の欄に数を入力します。例：
3 + 4i、-1 + i。ページを開いた時点で 3 + 4i が入っています。 - 極形式の欄がすぐに埋まります。3 + 4i なら
5∠0.927295です。 - 欄の下の結果カードに、絶対値 r（ここでは 5）と偏角 θ（ここでは 0.927295 rad）が表示されます。
- 角度を度で見たいときは、角度の単位の下の度を押してください。極形式は
5∠53.130102°に変わります。ラジアンを押すと元に戻ります。
逆向きの変換は、極形式の欄に入力して直交形式の欄を読むだけです。片方の欄に入力している間は、もう片方の欄だけが変わります。
複素数の絶対値と偏角の求め方
複素数 a + bi の極形式 r∠θ では、絶対値は r = √(a² + b²)（原点からの距離）、偏角は θ = atan2(b, a)（正の実軸からの角度）です。複素数の偏角の計算では、b/a の単純な逆正接ではなく atan2 を使うので、角度が正しい象限に入ります。
たとえば -1 + i の場合、単純な逆正接は -π/4 で、向きが逆になります。正しい偏角は 3π/4 です。
- 3 + 4i: r = 5、θ = 0.927295 rad（53.130102°）
- 1 + i: r = √2 ≈ 1.414214、θ = π/4（45°）
- -1 + i: r = √2、θ = 3π/4（135°）
- -3i: r = 3、θ = -π/2（-90°）
- -2: r = 2、θ = π（180°）
- -3 - 4i: r = 5、θ = -2.214297 rad（-126.869898°）
偏角は主値で、ラジアンでは -π より大きく π 以下、度では -180° より大きく 180° 以下です。ラジアンでは 15° の倍数のとき π の分数で、それ以外は小数で表示します。絶対値が √2 のような平方根のときは、正確な平方根の形で表示します。0 には向きがないため、偏角 θ は「0 では定義されません」と表示されます。
極形式から複素数に戻す（直交形式への変換）
極形式の欄に入力すると、直交形式の欄に a + bi が表示されます。計算式は a = r cos θ、b = r sin θ です。次の書き方がすべて読み取れます。
5∠0.9273と5@0.92735 cis 0.9273- 指数形式：
5e^(i*0.9273)、2e^(i pi/3) - 角度に π または pi：
5∠pi/4は 3.535534 + 3.535534i になります
単位を付けずに入力した角度は、角度の単位の選択に従います。角度のあとに °、deg、rad を付けると、そちらが優先されます。度を選んでいても 5∠0.9273 rad は正しく読み取られます。
角度を入力する前に単位を選んでください。入力後にラジアンと度を切り替えると、入力済みの数字は読み直されず、変換されます。ラジアンで入力した 2∠60 を度に切り替えると、60° ではなく 2∠-162.253229° になります。結果は小数第 6 位まで表示するため、5∠0.9273 は 2.999981 + 4.000014i になります。0.9273 自体が丸めた角度で、正確な角度なら 3 + 4i ちょうどになります。
数式のまま入力して計算する
直交形式の欄は簡単な複素数の計算を処理するので、式を先に整理しなくてもそのまま変換できます。欄には入力した式が残り、極形式と結果カードに答えが表示されます。掛け算の式も入力できます。
(1+i)^2は 2i、絶対値 2、偏角 90°2(1+i)は 2 + 2i、絶対値 2√2 ≈ 2.828427、偏角 45°(1+i)(1-i)は 2、絶対値 2、偏角 0°sqrt(-4)は 2ii^3は -ie^(i*pi)は -1
小数はカンマでもピリオドでも入力でき、1,5 + 2i と 1.5 + 2i は同じ数です。
交流回路のフェーザ
フェーザは大きさと位相角で表します。度を押してから、極形式の欄に大きさと位相角を入力してください。10∠-90 は -10i、2∠60 は 1 + 1.732051i になります。逆向きでは 3 + 4j が 5∠53.130102° に変換されます。j は i と同じ虚数単位として読み取られます。
このツールにできないこと
- 一度に扱えるのは 1 つの数だけです。各欄には 1 つの値しか入れられないため、リストや一括処理はありません。
- 小数第 6 位までの表示です。結果は表示用に丸められます。絶対値を正確な平方根で表示するのは、短い整数や小数を入力したときだけです。
- 途中の手順やグラフはありません。答えを表示するだけで、解き方は示さず、数を図に描くこともありません。
- 入力した数はブラウザの中にとどまり、どこにも送信されません。
よくある質問
複素数を極形式に変換するには、どうすればいいですか?
「直交形式」の欄に 3 + 4i のように入力します。入力に合わせて「極形式」の欄が埋まり、結果カードに「絶対値 r」と「偏角 θ」が表示されます。手計算では r = √(a² + b²)、θ = atan2(b, a) で、極形式は r∠θ です。
3 + 4i の極形式は何ですか?
絶対値は √(3² + 4²) = 5、偏角は atan2(4, 3) ≈ 0.927295 ラジアン（53.130102°）です。したがって 3 + 4i は、ラジアンでは 5∠0.927295、度では 5∠53.130102° になります。
複素数の絶対値と偏角はどうやって求めますか?
絶対値は原点からの距離で、r = √(a² + b²) です。偏角は正の実軸からの角度で、θ = atan2(b, a) です。「直交形式」の欄に数を入力すると、「絶対値 r」と「偏角 θ」の行に両方の値が表示され、絶対値が √2 のような平方根のときは正確な形で表示されます。
複素数の偏角とは何ですか?
複素数が正の実軸となす角度のことです。このツールは主値を表示します。ラジアンでは -π より大きく π 以下、度では -180° より大きく 180° 以下です。-1 + i の偏角は -π/4 ではなく 3π/4（135°）です。
0 の偏角はいくつですか?
0 には向きがないため、偏角はありません。0 を入力すると「偏角 θ」の行に「0 では定義されません」と表示され、絶対値は 0 になります。
極形式から直交形式に変換するには?
「極形式」の欄に、たとえば度を選んだ状態で 2∠60 と入力します。「直交形式」の欄に a + bi の形で 1 + 1.732051i と表示されます。手計算では a = r cos θ、b = r sin θ です。
複素数を指数形式で表すには?
指数形式は r·e^(iθ) で、r と θ は極形式と同じです。1 + i なら √2·e^(iπ/4) です。このツールは「極形式」の欄に 2e^(i pi/3) のような指数形式を入力することはできますが、結果は r∠θ の形で表示します。
フェーザや交流回路の計算にも使えますか?
使えます。「度」を選び、「極形式」の欄に 10∠-90 のようなフェーザを入力すると -10i になります。3 + 4j と入力すれば 5∠53.130102° が得られます。虚数単位は i でも j でも書けます。
計算の手順は表示されますか?
いいえ。表示されるのは答えの絶対値と偏角だけで、解き方は示されません。公式はこのページに載せているので、ご自分の計算と結果を見比べて確認できます。
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