循環小数を分数に直す方法
このページでは、循環小数を分数に直す方法を計算しながら確認できます。0.1666… や 1.272727… のような小数を、約分済みの正確な分数にして、その途中の計算手順も表示します。繰り返す数字を角括弧で囲むと、0.1[6] は 1/6、1.[27] は 14/11 になります。計算は浮動小数点ではなく整数で行うため、長い循環でも誤差は出ません。処理はお使いのブラウザ上で行われ、データのアップロードや保存はありません。
循環小数の分数への変換：入力から結果まで
入力するたびに結果が更新されるので、変換ボタンはありません。
- 小数の欄に数を入力します。小数点にはピリオドもカンマも使えます。
- 小数点の直後と、繰り返さない数字のあとに、繰り返す数字を角括弧で囲んでください。
0.1[6]は 0.1666… を表し、繰り返すのは 6 だけです。 - 答えは約分した分数の欄に、縦の形と1行の形で表示されます。数の前のマイナス記号は分数にも引き継がれます。
- 分数をコピーを押すと、
1/6のようなテキストとしてコピーされ、そのまま貼り付けられます。 - 計算手順を見ると、分数がどう求められたかを確認できます。
丸括弧も使え、0.1(6) は 0.1[6] と同じ意味で読み取られます。入力は50文字までです。
循環小数を分数に変換するときの入力ルール
角括弧は、どの数字が繰り返すのかを正確に示します。同じ並びでも答えが変わるのはそのためです。0.[27] は 27 が繰り返し、0.2[7] は 7 だけが繰り返します。使える角括弧は1組だけで、小数点より後ろに置く必要があります。
0.[3]は 0.333… で、答えは 1/30.1[6]は 0.1666… で、答えは 1/60.[142857]は 0.142857142857… で、答えは 1/71.[27]は 1.272727… で、答えは 14/11-0.[3]は −0.333… で、答えは −1/30.75は繰り返しのない小数で、答えは 3/45は整数で、答えは 5/1
1,000.5 のような桁区切り、2つ目の小数点、小数点より前にある角括弧は受け付けず、期待する形式を表示します。上線や点、「…」による表記は読み取れないので、角括弧で書き直してください。
循環小数を分数に直す計算手順（0.1[6] の例）
コツは、同じ終わりのない部分を持つ2つの式を作り、引き算でその部分を消すことです。0.1[6] の場合、計算手順に次のように表示されます。
- x = 0.1666…
- 100x = 16.666…（1 と循環1回分を越えて小数点を動かす）
- 10x = 1.666…（1 だけを越えて小数点を動かす）
- 引き算：90x = 15
- 両辺を 90 で割る：x = 15/90
- 分子と分母を 15 で割る：x = 1/6
一般には、小数点のあとに循環しない数字が n 個、繰り返す数字が r 個あるとき、10^(n+r) × x から 10^n × x を引きます。割る数は 10^(n+r) − 10^n になるので、繰り返す数字が1つなら分母は 9 の並び、2桁なら 99 の並びになります。
循環小数と分数の対応表：よくある値
よく調べられる値を並べます。右側が入力する形です。
- 0.111… =
0.[1]= 1/9 - 0.666… =
0.[6]= 2/3 - 0.0909… =
0.[09]= 1/11 - 0.2727… =
0.[27]= 3/11 - 0.0833… =
0.08[3]= 1/12 - 0.8333… =
0.8[3]= 5/6 - 0.12333… =
0.12[3]= 37/300 - 0.999… =
0.[9]= 1/1
0.999… がなぜ 1 に等しいのか
0.[9] と入力すると、答えは 1/1 になります。計算手順を見ると理由がわかります。10x = 9.999… と x = 0.999… から 9x = 9、つまり x = 1 です。0.999… と 1 のあいだには数が存在しないため、この2つは同じ数を2通りに書いたものです。
有限小数、負の数、帯分数の扱い
角括弧のない小数は有限小数として扱われます。0.75 は 100 を分母にして 75/100 と書き、約分して 3/4 になります。整数は 1 を分母にして返されます。先頭のマイナス記号とプラス記号は使えます。
答えは常に約分済みの仮分数です。14/11 を帯分数にするには割り算をします。14 を 11 で割ると商が 1 で余りが 3 なので、1 と 3/11 です。
よくある質問
循環小数を分数に直すにはどうすればよいですか？
小数を x とおき、繰り返す部分がそろうように x に 10 のべき乗をかけ、2つの式を引き算して終わりのない部分を消します。そのあと割り算で x を求め、約分します。0.1666… なら 100x − 10x = 16.666… − 1.666… となり、90x = 15、x = 1/6 です。このツールは入力と同時にこの計算を行い、各行を「計算手順」に表示します。
循環小数を分数に直す公式と求め方は？
x を小数とします。小数点のあとに循環しない数字が n 個、繰り返す数字が r 個あるとき、10^(n+r) × x から 10^n × x を引きます。終わりのない部分が消えて、(10^(n+r) − 10^n) × x が整数になります。両辺をその数で割り、分子と分母を最大公約数で約分すれば完成です。「計算手順」には自分の数について同じ計算が出るので、手計算の確認に使えます。
循環小数を分数に変換する計算機はありますか？
このツールがそれにあたります。小数点のあとの繰り返す数字を角括弧で囲み、たとえば 0.333… なら 0.[3]、1.272727… なら 1.[27] と入力すると、約分済みの分数として 1/3 と 14/11 が表示されます。
0.1[6] は分数でいくつですか？
1/6 です。繰り返すのは 6 だけなので 0.1[6] と入力します。100x = 16.666…、10x = 1.666… を引くと 90x = 15 になり、x = 15/90 を約分して 1/6 です。1666 の4桁全体が繰り返す場合は、0.[1666] と入力すると 1666/9999 になります。
0.333… は分数でいくつですか？
1/3 です。0.[3] と入力します。10x から x を引くと 9x = 3 なので、x = 3/9 = 1/3 です。同様に 0.[6] は 2/3、0.[1] は 1/9 です。
0.999… は分数でいくつですか？
ちょうど 1 なので、ツールは 1/1 を表示します。10x から x を引くと 9x = 9 になり、x = 1 です。とても近いだけではなく、2つの数のあいだに別の数が存在しないため、同じ数を2通りに書いたものです。
0.[27] と 0.2[7] は何が違いますか？
どの数字が繰り返すかが違います。2桁とも繰り返す 0.272727… は 0.[27] と入力して 3/11、7 だけが繰り返す 0.2777… は 0.2[7] と入力して 5/18 です。角括弧で、どの数字が繰り返すかをツールに伝えます。
循環小数を帯分数にするには？
このツールの答えは常に約分済みの仮分数で、帯分数の表示はありません。帯分数にするには、分子を分母で割り、商を整数部分、余りを新しい分子にします。1.[27] の答えは 14/11 で、14 ÷ 11 は商 1、余り 3 なので、1 と 3/11 です。
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