接線計算：点での傾きと接線の方程式

この接線計算ツールは、関数と x の値を入力すると、その点での傾きと接線の方程式を y = mx + b の形で表示します。導関数も簡単な形にして、教科書のような表記で表示します。表示するのは答えだけで、途中の計算過程は出ません。ブラウザ上で動作し、登録は不要です。

接線の求め方：点での接線を出す手順

ある点での接線は、次の手順で求められます。

1. 関数の欄に関数を入力してください。例：x^2 + 2x
2. x の値（省略可）の欄に点を入力してください。例：3
3. 傾きは傾きのカードで、接線の式は接線のカードで確認してください。

この例では導関数が 2x + 2、x = 3 での傾きが 8、接線は y = 8x − 9 になります。

結果は、入力をやめてから約 0.1 秒後に更新されます。式が途中までしか入力されていない間は、直前の結果を残し、1 秒後に薄く表示します。x の値を空欄にすると、導関数だけが表示されます。

接線の方程式の求め方と公式

ある点での関数の傾きは、その点での導関数の値です：m = f'(a)。接線は点 (a, f(a)) をその傾きで通るので、切片は b = f(a) − m·a になります。

x^2 + 2x を x = 3 で考えると、導関数は 2x + 2 なので m = 8 です。関数の値は f(3) = 15 なので、b = 15 − 8·3 = −9 となり、接線は y = 8x − 9 です。式は教科書と同じ書き方で、1x や + 0 は出さず、傾きが 0 のときは y = b だけを表示します。

関数の傾きの計算：ほかの例

平方根、対数、指数関数の例です。

• 4 での sqrt(x)：傾き 0.25、接線 y = 0.25x + 1
• 1 での ln(x)：傾き 1、接線 y = x − 1
• 0 での e^x：傾き 1、接線 y = x + 1

水平な接線の例として、pi/2 での sin(x) は傾きが 0 で、接線は y = 1 です。

x の値には、数値のほか pi/2 のような定数の式も使えます。導関数では分数や記号が正確なまま残り、たとえば cbrt(x) は 1/(3x^(2/3)) になります。0.5x^2 のように小数で入力すると、導関数も小数のままです。傾きと接線は有効数字 8 桁で表示されます。

関数の入力のしかた

累乗は x^2、積は 3x または 2*x と書き、関数は sin(x)、sqrt(x)、e^x、ln(x) のように入力してください。関数名の後ろは sin(2x) のようにかっこを付けます。

• x^2、x^(1/3)：累乗（分数や負の指数も可）
• 3x、2*x、x(x+1)：掛け算（記号を書いても省略しても可）
• pi、e：円周率とネイピア数
• ln(x)、log(x)、log10(x)、log2(x)：対数
• sqrt(x)、cbrt(x)、abs(x)、exp(x)：平方根、立方根、絶対値、e の x 乗

三角関数（sin、cos、tan などとその逆関数）と双曲線関数（sinh、cosh、tanh など）に対応しています。floor、ceil、round、gamma、erf には対応していません。

ラジアンと度の切り替え

設定を開き、三角関数の角度でラジアン（初期設定）か度を選んでください。度を選ぶと、sin(x) は x 度の正弦を意味し、逆三角関数は度で答えを返し、x の値も度として読み取られます。1 度は pi/180 ラジアンなので、導関数には pi/180 の係数が付き、結果の下にその旨の注記が表示されます。

度での例：関数 sin(x)、x の値 0 のとき、傾きは 0.017453293（pi/180）、接線は y = 0.017453293x です。

傾きが求まらない場合と対応していない計算

関数が一つの傾きに決まらない点では、カードに「この点では定義されません（ここでは傾きが 1 つに決まりません）」と表示されます。0 での sqrt(x)（接線が垂直）、0 での abs(x)（角になる点）、0 での 1/x、負の数での ln(x)、pi/2 での tan(x) がその例です。a*x のように別の文字を使うと、その文字を数値に置き換えるまで「計算できません。a に値がありません。」と表示されます。

このツールが求めるのは、x の関数の 1 階導関数と、1 点での接線で、結果だけを表示します。計算の途中式は出ず、陰関数・媒介変数・極座標の曲線、偏導関数や高階導関数、x 以外の文字での微分には対応していません。そのような計算や、点に結び付かない導関数には、微分計算機を使ってください。

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