Tangente berechnen: Gleichung und Steigung im Punkt
Mit diesem Rechner können Sie die Tangente berechnen: Sie geben eine Funktion und einen x-Wert ein und erhalten die Steigung an dieser Stelle sowie die Tangentengleichung in der Form y = mx + b. Die Ableitung wird dazu vereinfacht und wie in einem Lehrbuch gesetzt angezeigt. Der Rechner zeigt nur das Ergebnis, keine Rechenschritte. Er läuft im Browser, ohne Anmeldung, und Ihre Eingabe wird nicht an einen Server geschickt.
Tangente bestimmen: so gehen Sie vor
Um die Tangente an einem Punkt zu bestimmen, genügen drei Schritte:
- Geben Sie die Funktion in das Feld Funktion ein, zum Beispiel
x^2 + 2x. - Geben Sie den Punkt in x-Wert (optional) ein, zum Beispiel
3. - Lesen Sie die Steigung auf der Steigungskarte ab und die Gleichung auf der Karte Tangente.
Im Beispiel ist die Ableitung 2x + 2, die Steigung bei x = 3 beträgt 8 und die Tangente lautet y = 8x − 9.
Das Ergebnis aktualisiert sich etwa eine Zehntelsekunde, nachdem Sie aufhören zu tippen. Ist ein Ausdruck erst halb getippt, behält der Rechner das letzte Ergebnis und blendet es nach einer Sekunde ab. Lassen Sie den x-Wert leer, sehen Sie nur die Ableitung.
Tangentengleichung berechnen: Formel und Rechenweg
Die Steigung einer Funktion an einer Stelle a ist der Wert ihrer Ableitung dort: m = f'(a). Die Tangente verläuft durch den Punkt (a, f(a)) mit dieser Steigung, daher ist der Achsenabschnitt b = f(a) − m·a.
Für x^2 + 2x bei 3 ist die Ableitung 2x + 2, also m = 8. Der Funktionswert ist f(3) = 15, damit gilt b = 15 − 8·3 = −9, und die Tangente lautet y = 8x − 9. Die Gerade wird so geschrieben wie im Lehrbuch: ohne 1x, ohne + 0, und bei Steigung 0 nur als y = b.
Steigung im Punkt berechnen: weitere Beispiele
Wurzel, Logarithmus und Exponentialfunktion:
sqrt(x)bei 4: Steigung 0,25, Tangentey = 0.25x + 1ln(x)bei 1: Steigung 1, Tangentey = x − 1e^xbei 0: Steigung 1, Tangentey = x + 1
Eine waagerechte Tangente erhalten Sie zum Beispiel bei sin(x) an der Stelle pi/2: Die Steigung ist 0, die Tangente lautet y = 1.
Der x-Wert darf eine Zahl oder ein konstanter Ausdruck wie pi/2 sein. Exakte Brüche und Symbole bleiben in der Ableitung exakt, etwa 1/(3x^(2/3)) für cbrt(x). Schreiben Sie eine Dezimalzahl wie 0.5x^2, bleiben auch in der Ableitung Dezimalzahlen erhalten. Steigung und Tangente werden mit 8 signifikanten Stellen angezeigt.
Funktion richtig eingeben
Schreiben Sie Potenzen als x^2, Produkte als 3x oder 2*x und Funktionen wie sin(x), sqrt(x), e^x und ln(x). Nach einem Funktionsnamen setzen Sie Klammern, zum Beispiel sin(2x).
x^2,x^(1/3): Potenzen, auch mit Bruch und negativem Exponenten3x,2*x,x(x+1): Multiplikation, ausgeschrieben oder angedeutetpi,e: die Konstanten pi und eulersche Zahlln(x),log(x),log10(x),log2(x): Logarithmensqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): Wurzeln, Betrag, e hoch x
Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan und die übrigen samt Umkehrfunktionen) und Hyperbelfunktionen (sinh, cosh, tanh und die übrigen) werden unterstützt. floor, ceil, round, gamma und erf werden nicht unterstützt.
Bogenmaß oder Grad
Öffnen Sie Einstellungen und wählen Sie unter Winkel in der Trigonometrie zwischen Bogenmaß (Standard) und Grad. Bei Grad bedeutet sin(x) den Sinus von x Grad, Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen liefern Grad, und auch der x-Wert wird in Grad gelesen. Da ein Grad pi/180 im Bogenmaß entspricht, enthält die Ableitung den Faktor pi/180. Ein Hinweis unter dem Ergebnis sagt das.
Beispiel in Grad: Funktion sin(x), x-Wert 0 ergibt die Steigung 0,017453293 (das ist pi/180) und die Tangente y = 0.017453293x.
Keine Steigung vorhanden und Grenzen des Rechners
Hat eine Funktion an einer Stelle keine eindeutige Steigung, steht auf der Karte „an dieser Stelle nicht definiert (hier gibt es keine eindeutige Steigung)“. Das passiert bei sqrt(x) an der Stelle 0 (senkrechte Tangente), bei abs(x) an der Stelle 0 (Knick), bei 1/x an der Stelle 0, bei ln(x) an einer negativen Zahl und bei tan(x) an der Stelle pi/2. Kommt in der Funktion ein anderer Buchstabe vor, etwa in a*x, erscheint „Auswertung nicht möglich: a hat keinen Wert“, bis Sie den Buchstaben durch eine Zahl ersetzen.
Der Rechner bestimmt die erste Ableitung einer Funktion von x und die Tangente an einem Punkt und zeigt nur das Ergebnis. Er liefert keine Rechenschritte und behandelt keine impliziten, parametrischen oder Polarkurven, keine partiellen oder höheren Ableitungen und keine Ableitung nach einem anderen Buchstaben als x. Dafür und für eine Ableitung ohne festen Punkt gibt es den Ableitungsrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Tangente an einem Punkt?
Geben Sie die Funktion in das Feld „Funktion“ und den Punkt in das Feld „x-Wert (optional)“ ein. Die Karte „Tangente“ zeigt dann die Gerade als y = mx + b. Für x^2 + 2x bei x = 3 ist die Steigung 8 und die Tangente y = 8x − 9. Von Hand ist m die Ableitung an der Stelle und b = f(a) − m·a, wobei a der x-Wert ist.
Wie kann ich die Steigung einer Funktion berechnen?
Geben Sie die Funktion und den x-Wert ein. Die Steigungskarte zeigt den Wert der Ableitung an dieser Stelle mit 8 signifikanten Stellen. Der x-Wert kann eine Zahl oder ein konstanter Ausdruck wie pi/2 sein. Für sqrt(x) bei 4 beträgt die Steigung 0,25.
Wie berechne ich die Steigung der Tangente ohne x-Wert?
Das ist nicht möglich, denn die Steigung der Tangente gehört immer zu einer bestimmten Stelle. Lassen Sie das Feld „x-Wert (optional)“ leer, zeigt der Rechner nur die Ableitung, also die Steigung in Abhängigkeit von x.
Was ist die Ableitung von sin x in Grad?
Wird x in Grad gemessen, ist die Ableitung von sin(x) gleich (π/180)·cos(x), denn ein Grad entspricht π/180 im Bogenmaß. Öffnen Sie „Einstellungen“ und stellen Sie „Winkel in der Trigonometrie“ auf „Grad“, dann setzt der Rechner diesen Faktor für Sie ein: sin(x) bei x = 0 ergibt die Steigung 0,017453293.
Zeigt der Rechner Rechenschritte?
Nein. Er zeigt die gelesene Funktion, die vereinfachte Ableitung, die Steigung am Punkt und die Tangente, aber nicht den Rechenweg. Das Rechenbeispiel auf dieser Seite zeigt, wie Steigung und Achsenabschnitt entstehen, sodass Sie jede Zahl von Hand nachprüfen können.
Funktioniert das auch bei Parameter-, Polar- oder impliziten Kurven?
Nein. Der Rechner verarbeitet eine Funktion, die y in Abhängigkeit von x angibt, und leitet nur nach x ab. Parameter-, Polar- und implizite Kurven, partielle Ableitungen und zweite Ableitungen werden nicht unterstützt.
Kann ich damit die lineare Näherung berechnen?
Ja, für die Gerade selbst. Die Tangente y = mx + b ist die lineare Näherung der Funktion in der Nähe Ihres x-Werts, Sie können sie ablesen und selbst einen benachbarten x-Wert einsetzen. Die Näherung an einer zweiten Stelle oder den Fehler berechnet der Rechner nicht.
Was bedeutet „an dieser Stelle nicht definiert (hier gibt es keine eindeutige Steigung)“?
Die Funktion hat an diesem x-Wert keine eindeutige Tangentensteigung. Das ist der Fall bei einem Knick wie abs(x) bei 0, bei einer senkrechten Tangente wie sqrt(x) bei 0, bei Polstellen wie 1/x bei 0, außerhalb des Definitionsbereichs wie ln(x) bei einer negativen Zahl und bei tan(x) an der Stelle pi/2.
Wird meine Funktion an einen Server gesendet?
Nein. Die Funktion wird in Ihrem Browser gelesen und abgeleitet, deshalb wird nichts von dem, was Sie eingeben, irgendwohin gesendet. Eine Anmeldung gibt es nicht.
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