Faktorisieren Rechner: quadratische Terme Schritt für Schritt
Dieser Faktorisieren Rechner zerlegt Ax² + Bx + C in Klammern und zeigt jeden Schritt der AC-Methode. So können Sie Hausaufgaben prüfen oder die Stelle finden, an der Ihre eigene Rechnung abgewichen ist. Er klammert einen gemeinsamen Faktor aus, kommt mit einem negativen A zurecht und erkennt vollständige Quadrate sowie die Differenz zweier Quadrate. Er läuft im Browser, es wird nichts hochgeladen.
Quadratische Gleichung faktorisieren: so geht es hier
Der Rechner faktorisiert den quadratischen Term der Form Ax² + Bx + C. Gehen Sie so vor:
- Tragen Sie die Zahl vor x² in das Feld A ein. Es startet mit 1, ein leeres A zählt als 1.
- Tragen Sie die Zahl vor x in B ein und die reine Zahl in C. Ein leeres B oder C zählt als 0.
- Für eine negative Zahl tippen Sie ein Minuszeichen oder tippen unter dem Feld auf ±. Auf Zahlentastaturen am Handy fehlt oft die Minustaste, dafür ist diese Taste da.
- Wählen Sie Term faktorisieren.
- Lesen Sie die Faktorisierte Form in großer Schrift und danach die nummerierten Schritte von oben nach unten.
Für 2x² + 2x − 24 geben Sie A = 2, B = 2 und C = −24 ein. Jede Änderung in einem Feld löscht das Ergebnis, also tippen Sie nach einer Korrektur erneut auf die Taste. Erlaubt sind nur ganze Zahlen zwischen −1.000.000 und 1.000.000. A darf nicht 0 sein, weil sonst kein x²-Term übrig bliebe.
Faktorisieren Schritt für Schritt: die AC-Methode
Die AC-Methode faktorisiert Ax² + Bx + C auch dann, wenn A nicht 1 ist. Genau dort hört einfaches Probieren auf zu funktionieren. Der Rechner geht immer in derselben Reihenfolge vor: gemeinsamen Teiler ausklammern, erste und letzte Zahl multiplizieren, zwei ganze Zahlen mit diesem Produkt und der Summe B finden, den mittleren Term aufteilen, paarweise zusammenfassen und die gemeinsame Klammer ausklammern. So sieht das für 2x² + 5x + 3 aus, mit dem Ergebnis (x + 1)(2x + 3):
- Beginnen Sie mit 2x² + 5x + 3.
- Die drei Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler, also gibt es nichts auszuklammern.
- Multiplizieren Sie die erste und die letzte Zahl: 2 × 3 = 6.
- Finden Sie zwei ganze Zahlen mit dem Produkt 6 und der Summe 5. Es sind 2 und 3, denn 2 × 3 = 6 und 2 + 3 = 5.
- Teilen Sie den mittleren Term mit diesen beiden Zahlen auf: 2x² + 2x + 3x + 3.
- Fassen Sie die Terme paarweise zusammen und klammern Sie in jedem Paar den gemeinsamen Faktor aus: (2x² + 2x) + (3x + 3) = 2x(x + 1) + 3(x + 1).
- Beide Paare enthalten jetzt (x + 1), also klammern Sie es aus: (x + 1)(2x + 3).
Die Klammern stehen mit dem kleineren x-Koeffizienten zuerst. Sie sehen also (x + 1)(2x + 3), wo ein Lehrbuch (2x + 3)(x + 1) schreibt. Das Produkt ist dasselbe.
Faktorisieren Rechner mit Rechenweg: gemeinsamer Faktor und negatives A
Haben A, B und C einen gemeinsamen Teiler, klammert Schritt 2 ihn zuerst aus. Für 2x² + 2x − 24 lautet der Schritt: Klammere den größten gemeinsamen Teiler 2 aus: 2(x² + x − 12). Die übrigen Schritte zerlegen x² + x − 12 in (x − 3)(x + 4), und der letzte Schritt setzt die 2 wieder davor: 2(x − 3)(x + 4).
Ist A negativ, wird der Faktor mit Vorzeichen ausgeklammert, damit der x²-Term in der Klammer positiv ist: −x² + 5x − 6 wird zu −(x − 3)(x − 2).
Binomische Formeln faktorisieren: Sonderfälle
Für Sonderfälle brauchen Sie keinen anderen Modus. Es laufen dieselben Schritte, und die Antwort zeigt das Muster:
- A, B, C = 1, 6, 9 ergibt (x + 3)². Vollständiges Quadrat: Die beiden Klammern sind gleich, also schreibt der letzte Schritt sie als Quadrat.
- 1, 0, −9 ergibt (x − 3)(x + 3). Differenz zweier Quadrate: Das Paar ist −3 und 3, die mittleren Terme heben sich auf.
- 3, 6, 0 ergibt 3x(x + 2). C ist 0, also ist x neben der 3 ein gemeinsamer Faktor.
- 4, 0, 0 ergibt 4x². Es gibt nur einen x²-Term, nach dem Ausklammern der 4 lässt sich nichts weiter zerlegen.
- −1, 5, −6 ergibt −(x − 3)(x − 2). Negatives A: Zuerst wird −1 ausgeklammert.
- 1, 1, 1 ergibt Nicht zerlegbar, weil kein Zahlenpaar passt.
- 2, 2, 2 ergibt 2(x² + x + 1). Die 2 kommt heraus, und der Teil in der Klammer ist nicht zerlegbar.
Wann ein quadratischer Term nicht zerlegbar ist
Der Rechner zeigt Nicht zerlegbar, wenn es (nach dem Ausklammern eines gemeinsamen Teilers) keine zwei ganzen Zahlen gibt, deren Produkt A × C und deren Summe B ist. Dann lässt sich der Term nicht als Klammern mit ganzen Zahlen schreiben. Wurde vorher ein gemeinsamer Teiler ausgeklammert, steht er stattdessen vor dem nicht zerlegbaren Teil, mit einem Hinweis unter der Antwort.
Ein schneller Test für zu Hause: Klammern mit ganzen Zahlen gibt es nur, wenn B² − 4AC eine Quadratzahl ist (0, 1, 4, 9, 16 und so weiter). Für x² + x + 1 ergibt das −3, der Term ist also nicht zerlegbar. Für x² − 2 ergibt es 8, keine Quadratzahl, also ist auch dieser Term nicht zerlegbar.
Was dieser Rechner nicht kann
Er faktorisiert, mehr nicht: Er löst nicht nach x auf und zeichnet keine Parabel. Dezimalzahlen und Brüche lehnt er mit einer Meldung ab, rechnen Sie die Werte vorher auf ganze Zahlen hoch. Wenn Sie die Nullstellen brauchen, setzen Sie jede Klammer von Hand gleich 0.
Häufige Fragen
Wie kann man ein Trinom faktorisieren, wenn A nicht 1 ist?
Verwenden Sie die AC-Methode. Multiplizieren Sie A mit C, suchen Sie zwei ganze Zahlen mit diesem Produkt und der Summe B, teilen Sie den mittleren Term in diese beiden Zahlen auf, fassen Sie paarweise zusammen und klammern Sie die gemeinsame Klammer aus. Für 2x² + 5x + 3 ist A × C = 6, die Zahlen sind 2 und 3, und das Ergebnis ist (x + 1)(2x + 3). Geben Sie 2, 5 und 3 in A, B und C ein, dann zeigt der Rechner jeden dieser Schritte.
Was ist die AC-Methode?
Die AC-Methode faktorisiert Ax² + Bx + C, wenn A nicht 1 ist. Sie multiplizieren A mit C, suchen zwei ganze Zahlen mit dem Produkt AC und der Summe B und teilen damit den mittleren Term in zwei auf. Die vier Terme lassen sich dann durch Ausklammern in Paaren zerlegen. Die Methode funktioniert auch bei A = 1, deshalb nutzt der Rechner für jeden quadratischen Term dieselben Schritte.
Wie klammere ich einen gemeinsamen Faktor aus?
Klammern Sie zuerst den größten gemeinsamen Teiler von A, B und C aus, faktorisieren Sie den Rest und setzen Sie den Teiler wieder davor. Für 2x² + 2x − 24 beginnt die Schrittliste mit 2(x² + x − 12) und endet mit 2(x − 3)(x + 4). Haben die drei Zahlen nichts gemeinsam, meldet der Rechner, dass es nichts auszuklammern gibt.
Wie faktorisiere ich einen quadratischen Term mit negativem A?
Klammern Sie zuerst −1 (oder einen negativen gemeinsamen Teiler) aus, damit der x²-Term in der Klammer positiv ist. Tippen Sie neben A auf ± und danach auf „Term faktorisieren“. Für −x² + 5x − 6 lautet die Antwort −(x − 3)(x − 2), und die Schrittliste zeigt, wie −1 am Anfang ausgeklammert und am Ende wieder davorgesetzt wird.
Lassen sich alle quadratischen Terme faktorisieren?
Nicht in Klammern mit ganzen Zahlen. Terme wie x² + x + 1 oder x² − 2 haben keine ganzzahligen Faktoren, und der Rechner meldet sie als „Nicht zerlegbar“. Ihre Nullstellen sind irrational oder komplex, deshalb lassen sie sich nicht als Klammern mit ganzzahligen Koeffizienten schreiben.
Woran erkenne ich, dass ein quadratischer Term nicht zerlegbar ist?
Klammern Sie zuerst den gemeinsamen Teiler aus und suchen Sie dann zwei ganze Zahlen mit dem Produkt A × C und der Summe B. Gibt es keine, ist der Term nicht zerlegbar. Derselbe Test geht über die Diskriminante: B² − 4AC muss eine Quadratzahl sein, damit ganzzahlige Faktoren existieren. Bei x² + x + 1 multipliziert sich kein Paar zu 1 und addiert sich zu 1, und B² − 4AC ist −3, also ist der Term nicht zerlegbar.
Wie faktorisiere ich eine Differenz von Quadraten?
Eine Differenz von Quadraten wie x² − 9 wird zu (x − 3)(x + 3). Geben Sie A = 1 ein, lassen Sie B leer und geben Sie C = −9 ein. Der Rechner kommt über die üblichen Schritte zum Ergebnis: A × C ist −9, das Paar ist −3 und 3, und die Aufteilung lautet x² − 3x + 3x − 9. Terme wie 4x² − 25 funktionieren genauso.
Wie faktorisiere ich ein vollständiges Quadrat?
Ein vollständiges Quadrat wie x² + 6x + 9 zerfällt in zwei gleiche Klammern und wird (x + 3)² geschrieben. Geben Sie 1, 6 und 9 ein. Der Rechner findet das Paar 3 und 3, klammert die gemeinsame Klammer aus und erhält (x + 3)(x + 3). Dann folgt ein letzter Schritt, der die gleichen Klammern als Quadrat schreibt.
Kann der Rechner eine quadratische Gleichung lösen oder die Nullstellen finden?
Nein. Er faktorisiert Ax² + Bx + C in Klammern und zeigt die Schritte, löst aber nicht nach x auf und zeichnet keinen Graphen. Mit den Klammern können Sie von Hand weitermachen: Setzen Sie jede Klammer gleich 0. Aus 2(x − 3)(x + 4) ergibt das x = 3 und x = −4.
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