Komplexe Zahl in Polarform umrechnen
Dieser Rechner wandelt eine komplexe Zahl in Polarform um: Du schreibst a + bi und siehst sofort r∠θ. Der Rückweg klappt genauso, und darunter stehen Betrag und Argument. Alles läuft in deinem Browser.
Komplexe Zahl in Polarform umwandeln
So rechnest du eine komplexe Zahl in Polarform um:
- Gib die Zahl im Feld Kartesische Form ein, zum Beispiel
3 + 4ioder-1 + i. Beim Öffnen steht dort schon 3 + 4i. - Das Feld Polarform füllt sich sofort. Für 3 + 4i steht dort
5∠0.927295. - Darunter zeigt die Ergebniskarte Betrag r (hier 5) und Argument θ (hier 0,927295 rad).
- Willst du den Winkel in Grad, drücke unter Winkeleinheit auf Grad. Dann steht in der Polarform
5∠53.130102°. Mit Bogenmaß wechselst du zurück.
Der umgekehrte Weg geht genauso: Gib die Polarform ein und lies die kartesische Form ab. Beim Eingeben in einem Feld ändert sich nur das andere.
Kartesische Form in Polarform: Betrag und Argument
Für eine Zahl a + bi hat die Polarform r∠θ den Betrag r = √(a² + b²), das ist der Abstand zum Nullpunkt, und das Argument θ = atan2(b, a), den Winkel zur positiven reellen Achse. Wer die algebraische Form in Polarform bringen will, braucht nur diese beiden Werte.
Der Rechner nimmt atan2 statt eines einfachen Arkustangens von b/a, damit der Winkel im richtigen Quadranten landet. Bei -1 + i liefert der Arkustangens -π/4 und zeigt in die falsche Richtung; richtig ist 3π/4.
- 3 + 4i: r = 5, θ = 0,927295 rad (53,130102°)
- 1 + i: r = √2 ≈ 1,414214, θ = π/4 (45°)
- -1 + i: r = √2, θ = 3π/4 (135°)
- -3i: r = 3, θ = -π/2 (-90°)
- -2: r = 2, θ = π (180°)
- -3 - 4i: r = 5, θ = -2,214297 rad (-126,869898°)
Das Argument ist der Hauptwert: größer als -π und höchstens π im Bogenmaß, größer als -180° und höchstens 180° in Grad. Im Bogenmaß erscheint es als Bruchteil von π, wenn es ein Vielfaches von 15° ist, sonst als Dezimalzahl. Der Betrag steht als exakte Wurzel da, etwa √2, wenn er eine ist. Die Zahl 0 hat keine Richtung, deshalb steht beim Argument θ dann „Für 0 nicht definiert“.
Polarform in kartesische Form (Normalform)
Gib die Polarform im Feld Polarform ein, und die Kartesische Form zeigt a + bi, berechnet mit a = r cos θ und b = r sin θ. Diese Schreibweisen werden gelesen:
5∠0.9273und5@0.92735 cis 0.9273- Exponentialform:
5e^(i*0.9273)oder2e^(i pi/3) - π oder pi im Winkel:
5∠pi/4ergibt 3,535534 + 3,535534i
Ein Winkel ohne Einheit folgt der Einstellung bei der Winkeleinheit. Schreibst du °, deg oder rad hinter den Winkel, gilt das stattdessen; so funktioniert 5∠0.9273 rad auch bei gewählten Grad.
Wähle die Einheit, bevor du den Winkel eingibst. Wechselst du danach zwischen Bogenmaß und Grad, wird die schon eingegebene Zahl umgerechnet und nicht neu gelesen: 2∠60 im Bogenmaß und dann auf Grad gestellt wird zu 2∠-162.253229°, nicht zu 60°. Ergebnisse stehen auf 6 Nachkommastellen. 5∠0.9273 ergibt deshalb 2,999981 + 4,000014i: 0,9273 ist selbst ein gerundeter Winkel, der exakte Winkel liefert genau 3 + 4i.
Mit Ausdrücken rechnen, nicht nur mit einer Zahl
Das Feld Kartesische Form wertet einfache komplexe Rechnungen aus. Du kannst also einen Ausdruck umwandeln, ohne ihn vorher zu vereinfachen. Das Feld behält, was du getippt hast; Polarform und Ergebniskarte zeigen die Antwort.
(1+i)^2ergibt 2i, Betrag 2, Argument 90°2(1+i)ergibt 2 + 2i, Betrag 2√2 ≈ 2,828427, Argument 45°(1+i)(1-i)ergibt 2, Betrag 2, Argument 0°sqrt(-4)ergibt 2ii^3ergibt -ie^(i*pi)ergibt -1
Dezimalzahlen darfst du mit Komma oder Punkt schreiben: 1,5 + 2i und 1.5 + 2i sind dieselbe Zahl.
Phasoren und Wechselstrom
Für einen Phasor drückst du Grad und gibst Betrag und Phasenwinkel in der Polarform ein. 10∠-90 wird zu -10i, 2∠60 zu 1 + 1,732051i. In der Gegenrichtung wird 3 + 4j zu 5∠53.130102°: j gilt wie i als imaginäre Einheit.
Was der Rechner nicht kann
- Eine Zahl nach der anderen: Jedes Feld nimmt genau einen Wert, es gibt keine Liste und keinen Stapelmodus.
- 6 Nachkommastellen: Die Ergebnisse sind zur Anzeige gerundet. Den Betrag zeigt er nur bei kurzen ganzen und dezimalen Eingaben als exakte Wurzel.
- Keine Rechenschritte, keine Zeichnung: Du bekommst die Antwort, keinen Lösungsweg, und die Zahl wird nicht in einer Skizze dargestellt.
- Privat: Die Zahlen, die du eingibst, bleiben in deinem Browser und werden nirgendwohin gesendet.
Häufige Fragen
Wie kann ich eine komplexe Zahl in Polarform umrechnen?
Gib sie im Feld „Kartesische Form“ ein, zum Beispiel 3 + 4i. Das Feld „Polarform“ füllt sich beim Tippen, und die Ergebniskarte zeigt „Betrag r“ und „Argument θ“. Von Hand gilt r = √(a² + b²) und θ = atan2(b, a), die Polarform ist r∠θ.
Was ist die Polarform von 3 + 4i?
Der Betrag ist √(3² + 4²) = 5, das Argument atan2(4, 3) ≈ 0,927295 rad, also 53,130102°. Damit ist 3 + 4i = 5∠0,927295 im Bogenmaß oder 5∠53,130102° in Grad.
Wie lassen sich Betrag und Argument einer komplexen Zahl berechnen?
Der Betrag ist der Abstand zum Nullpunkt, r = √(a² + b²). Das Argument ist der Winkel zur positiven reellen Achse, θ = atan2(b, a). Gib die Zahl im Feld „Kartesische Form“ ein, dann zeigen die Zeilen „Betrag r“ und „Argument θ“ beide Werte, den Betrag als exakte Wurzel wie √2, wenn er eine ist.
Was ist das Argument einer komplexen Zahl?
Es ist der Winkel, den die Zahl mit der positiven reellen Achse bildet. Der Rechner zeigt den Hauptwert: größer als -π und höchstens π im Bogenmaß, größer als -180° und höchstens 180° in Grad. Für -1 + i ist das 3π/4 (135°), nicht -π/4.
Was ist das Argument von null?
Null hat kein Argument, weil sie keine Richtung hat. Gib 0 ein, dann steht in der Zeile „Argument θ“: „Für 0 nicht definiert“, und der Betrag ist 0.
Wie wandle ich die Polarform in die Normalform um?
Gib die Polarform im Feld „Polarform“ ein, zum Beispiel 2∠60 bei gewählten Grad. Das Feld „Kartesische Form“ zeigt dann a + bi, hier 1 + 1,732051i. Von Hand gilt a = r cos θ und b = r sin θ.
Wie schreibe ich eine komplexe Zahl in Exponentialform?
Die Exponentialform ist r·e^(iθ) mit denselben r und θ wie in der Polarform. Für 1 + i ergibt das √2·e^(iπ/4). Der Rechner liest die Exponentialform als Eingabe, etwa 2e^(i pi/3) im Feld „Polarform“, zeigt das Ergebnis aber als r∠θ.
Eignet sich der Polarform-Rechner für Phasoren und Wechselstrom?
Ja. Wähle „Grad“ und gib einen Phasor wie 10∠-90 im Feld „Polarform“ ein, dann erhältst du -10i. Mit 3 + 4j bekommst du 5∠53,130102°. Die imaginäre Einheit darfst du als i oder j schreiben.
Zeigt der Rechner den Rechenweg?
Nein. Er zeigt die Antwort, also Betrag und Argument, aber keinen ausgeschriebenen Lösungsweg. Die Formeln stehen auf dieser Seite, damit du deine eigene Rechnung mit dem Ergebnis vergleichen kannst.
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