Periodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Mit diesem Rechner können Sie eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: aus 0,1666… oder 1,272727… wird ein exakter, vollständig gekürzter Bruch, und der Rechenweg wird gleich mitgezeigt. Setzen Sie die Ziffern, die sich wiederholen, in eckige Klammern, dann ergibt 0,1[6] den Bruch 1/6 und 1,[27] den Bruch 14/11. Gerechnet wird mit ganzen Zahlen statt mit Gleitkommazahlen, deshalb bleibt auch eine lange Periode exakt. Alles läuft im Browser auf Ihrem Gerät, es wird nichts hochgeladen oder gespeichert.
Periodische Dezimalzahl umwandeln: So gehen Sie vor
Der Rechner rechnet bei jeder Eingabe neu, eine Schaltfläche zum Bestätigen gibt es nicht.
- Tippen Sie die Zahl ins Feld Dezimalzahl. Als Dezimaltrenner funktioniert ein Komma ebenso wie ein Punkt.
- Setzen Sie die Ziffern, die sich wiederholen, in eckige Klammern, direkt hinter das Komma und hinter die Ziffern ohne Wiederholung:
0,1[6]steht für 0,1666…, nur die 6 wiederholt sich. - Das Ergebnis lesen Sie unter Gekürzter Bruch ab, einmal gestapelt und einmal in einer Zeile. Ein Minuszeichen vor der Zahl wird auf den Bruch übertragen.
- Mit Bruch kopieren landet der Bruch als reiner Text in der Zwischenablage, zum Beispiel
1/6. - Unter Rechenweg sehen Sie, wie der Bruch gefunden wurde.
Runde Klammern werden ebenfalls verstanden: 0,1(6) wird genauso gelesen wie 0,1[6]. Die Eingabe darf bis zu 50 Zeichen lang sein.
Gemischt periodische Dezimalzahl in Bruch: Klammern richtig setzen
Die Klammern legen genau fest, welche Ziffern sich wiederholen. Deshalb kann dieselbe Ziffernfolge zu verschiedenen Brüchen führen: 0,[27] wiederholt 27, 0,2[7] nur die 7. Bei einer rein periodischen Dezimalzahl wie 0,[3] beginnt die Periode direkt hinter dem Komma, bei einer gemischt periodischen wie 0,1[6] stehen davor noch Ziffern ohne Wiederholung. Erlaubt ist nur ein einziges Klammerpaar, und es muss hinter dem Komma stehen.
0,[3]bedeutet 0,333… und ergibt 1/30,1[6]bedeutet 0,1666… und ergibt 1/60,[142857]bedeutet 0,142857142857… und ergibt 1/71,[27]bedeutet 1,272727… und ergibt 14/11-0,[3]bedeutet −0,333… und ergibt −1/30,75ist abbrechend und ergibt 3/45ist eine ganze Zahl und ergibt 5/1
Abgelehnt werden ein Tausendertrennzeichen wie in 1,000.5, ein zweiter Dezimaltrenner und Klammern ohne Komma davor; der Rechner nennt dann das erwartete Format. Überstreichung, Punkte über den Ziffern und die Schreibweise mit „…“ werden nicht gelesen, schreiben Sie diese bitte mit Klammern.
Periodischer Dezimalbruch in Bruch: der Rechenweg für 0,1666…
Der Trick besteht darin, zwei Kopien der Zahl mit demselben endlosen Schwanz zu bilden und sie zu subtrahieren, sodass der Schwanz verschwindet. So sieht der Rechenweg für 0,1[6] aus:
- x = 0,1666…
- 100x = 16,666… (hinter die 1 und eine volle Periode verschoben)
- 10x = 1,666… (nur hinter die 1 verschoben)
- Subtrahieren: 90x = 15
- Beide Seiten durch 90 teilen: x = 15/90
- Zähler und Nenner durch 15 teilen: x = 1/6
Allgemein gilt: Stehen n Ziffern zwischen Komma und Periode und wiederholen sich r Ziffern, subtrahieren Sie 10^n · x von 10^(n+r) · x. Die Zahl, durch die Sie teilen, ist 10^(n+r) − 10^n. Deshalb entsteht bei einer einzelnen sich wiederholenden Ziffer ein Nenner aus Neunen, bei einer zweistelligen Periode einer aus 99.
Periodische Zahl in Bruch umwandeln: häufige Werte
Diese Werte kommen besonders oft vor. Rechts steht jeweils, was Sie eintippen.
- 0,111… =
0,[1]= 1/9 - 0,666… =
0,[6]= 2/3 - 0,0909… =
0,[09]= 1/11 - 0,2727… =
0,[27]= 3/11 - 0,0833… =
0,08[3]= 1/12 - 0,8333… =
0,8[3]= 5/6 - 0,12333… =
0,12[3]= 37/300 - 0,999… =
0,[9]= 1/1
0,9 periodisch: Bruch und die Frage, warum 0,999… gleich 1 ist
Geben Sie 0,[9] ein, antwortet der Rechner mit 1/1. Der Rechenweg zeigt den Grund: Aus 10x = 9,999… und x = 0,999… folgt 9x = 9, also x = 1. Zwischen 0,999… und 1 liegt keine weitere Zahl, deshalb sind beide dieselbe Zahl, nur auf zwei Arten geschrieben.
Abbrechende Dezimalzahlen, negative Zahlen und gemischte Zahlen
Eine Dezimalzahl ohne Klammern gilt als abbrechend: 0,75 wird als 75/100 geschrieben und dann zu 3/4 gekürzt. Eine ganze Zahl kommt über 1 zurück. Ein führendes Minus- oder Pluszeichen ist erlaubt.
Das Ergebnis ist immer ein unechter Bruch in gekürzter Form. Für eine gemischte Zahl rechnen Sie selbst: 14/11 ergibt 1 Rest 3, also 1 3/11.
Häufige Fragen
Wie wandelt man periodische Dezimalzahlen in Brüche um?
Nennen Sie die Dezimalzahl x und multiplizieren Sie x mit einer Zehnerpotenz, sodass die sich wiederholenden Ziffern mit einer zweiten Kopie übereinanderliegen, und subtrahieren Sie die beiden Zeilen. Der endlose Schwanz fällt weg, dann teilen Sie nach x auf und kürzen. Bei 0,1666… ergibt das 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, also 90x = 15 und x = 1/6. Der Rechner macht genau das bei jeder Eingabe und zeigt jede Zeile unter „Rechenweg“.
Wie rechne ich eine periodische Dezimalzahl von Hand in einen Bruch um?
Schreiben Sie x = die Dezimalzahl. Stehen n Ziffern zwischen Komma und Periode und wiederholen sich r Ziffern, subtrahieren Sie 10^n · x von 10^(n+r) · x. Der Schwanz hebt sich auf, und es bleibt eine ganze Zahl gleich (10^(n+r) − 10^n) · x. Teilen Sie beide Seiten durch diese Zahl und kürzen Sie anschließend mit dem größten gemeinsamen Teiler. Zur Kontrolle zeigt der „Rechenweg“ dieselben Schritte für Ihre eigene Zahl.
Gibt es einen Rechner, der periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelt?
Ja, dieser hier. Sie geben die Zahl ein, setzen die Periode in eckige Klammern, zum Beispiel 0,[3] für 0,333… oder 1,[27] für 1,272727…, und erhalten den gekürzten Bruch: 1/3 und 14/11.
Welcher Bruch steckt hinter 0,1666…?
Es ist 1/6. Geben Sie 0,1[6] ein, denn nur die 6 wiederholt sich: 100x = 16,666…, 10x = 1,666…, die Differenz ist 90x = 15, also x = 15/90, gekürzt 1/6. Soll sich der ganze Block 1666 wiederholen, geben Sie stattdessen 0,[1666] ein und erhalten 1666/9999.
Welcher Bruch ist 0,333… periodisch?
Es ist 1/3. Geben Sie 0,[3] ein: 10x − x ergibt 9x = 3, also x = 3/9 = 1/3. Genauso ist 0,[6] gleich 2/3 und 0,[1] gleich 1/9.
Welcher Bruch ist 0,9 periodisch?
0,9 periodisch ist genau 1, der Rechner zeigt deshalb 1/1. 10x − x ergibt 9x = 9, also x = 1. Beide Zahlen sind nicht nur sehr nah beieinander: Es liegt keine Zahl dazwischen, also sind sie dieselbe Zahl in zwei Schreibweisen.
Was ist der Unterschied zwischen 0,[27] und 0,2[7]?
Es kommt darauf an, was sich wiederholt. Wiederholen sich beide Ziffern (0,272727…), geben Sie 0,[27] ein und erhalten 3/11. Wiederholt sich nur die 7 (0,2777…), geben Sie 0,2[7] ein und erhalten 5/18. Die Klammern sagen dem Rechner, welche Ziffern sich wiederholen.
Wie mache ich aus einer periodischen Dezimalzahl eine gemischte Zahl?
Der Rechner zeigt immer einen unechten Bruch in gekürzter Form und hat keine Ausgabe als gemischte Zahl. Dafür teilen Sie den Zähler durch den Nenner: Der ganzzahlige Anteil ist der ganze Teil, der Rest wird der neue Zähler. Bei 1,[27] lautet das Ergebnis 14/11, und 14 geteilt durch 11 ist 1 Rest 3, also 1 3/11.
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