Forma polar de um número complexo
Aqui você obtém a forma polar de um número complexo: digite a + bi e veja r∠θ na hora. O caminho inverso funciona igual, e o módulo e o argumento aparecem abaixo dos campos. Tudo acontece no seu navegador.
Como passar para forma polar um número complexo
- Digite o número no campo Forma algébrica, por exemplo
3 + 4iou-1 + i. Ao abrir a página, 3 + 4i já está lá. - O campo Forma polar é preenchido na hora. Para 3 + 4i, aparece
5∠0.927295. - Abaixo dos campos, o cartão de resultado mostra o Módulo r (aqui 5) e o Argumento θ (aqui 0,927295 rad).
- Para ver o ângulo em graus, pressione Graus em Unidade do ângulo. A forma polar passa a
5∠53.130102°. Pressione Radianos para voltar.
O caminho inverso é igual: digite a forma polar e leia a forma algébrica. Enquanto você digita em um campo, só o outro muda.
Módulo e argumento de número complexo
Para um número a + bi, a forma polar r∠θ tem módulo r = √(a² + b²), a distância até o zero, e argumento θ = atan2(b, a), o ângulo a partir do eixo real positivo. Para achar o argumento de um número complexo, a calculadora usa atan2 e não um arco tangente simples de b/a, para que o ângulo caia no quadrante certo. A forma trigonométrica de um número complexo, r(cos θ + i sen θ), usa os mesmos r e θ.
Para -1 + i, o arco tangente simples dá -π/4, que aponta para o lado errado. O argumento correto é 3π/4.
- 3 + 4i: r = 5, θ = 0,927295 rad (53,130102°)
- 1 + i: r = √2 ≈ 1,414214, θ = π/4 (45°)
- -1 + i: r = √2, θ = 3π/4 (135°)
- -3i: r = 3, θ = -π/2 (-90°)
- -2: r = 2, θ = π (180°)
- -3 - 4i: r = 5, θ = -2,214297 rad (-126,869898°)
O argumento é o valor principal: maior que -π e até π em radianos, maior que -180° e até 180° em graus. Em radianos, aparece como fração de π quando é múltiplo de 15°, e como decimal nos demais casos. O módulo aparece como raiz exata, como √2, quando for uma. O número 0 não tem direção, então o Argumento θ dele mostra «Indefinido para 0».
Forma retangular para polar e o caminho de volta
Passar da forma retangular para polar é o que as seções acima fazem. No sentido contrário, digite a forma polar no campo da forma polar e a forma algébrica mostra a + bi, com a = r cos θ e b = r sen θ. Todas estas escritas são lidas:
5∠0.9273e5@0.92735 cis 0.9273- forma exponencial de um número complexo:
5e^(i*0.9273)ou2e^(i pi/3) - π ou pi no ângulo:
5∠pi/4dá 3,535534 + 3,535534i
Um ângulo sem unidade segue a unidade do ângulo escolhida. Se você escrever °, deg ou rad depois do ângulo, isso prevalece: 5∠0.9273 rad funciona mesmo com Graus selecionado.
Escolha a unidade antes de digitar o ângulo. Se você alternar entre radianos e graus depois, o número já digitado é convertido, não lido de novo: 2∠60 digitado em radianos e depois trocado para graus vira 2∠-162.253229°, e não 60°. Os resultados aparecem com 6 casas decimais, então 5∠0.9273 dá 2,999981 + 4,000014i: 0,9273 já é um ângulo arredondado, e o ângulo exato dá exatamente 3 + 4i.
Digite uma conta, não só um número
O campo da forma algébrica resolve contas simples com números complexos, então você pode converter uma expressão sem simplificá-la antes. O campo mantém o que você digitou; a forma polar e o cartão de resultado mostram a resposta, como uma calculadora de números complexos.
(1+i)^2dá 2i, módulo 2, argumento 90°2(1+i)dá 2 + 2i, módulo 2√2 ≈ 2,828427, argumento 45°(1+i)(1-i)dá 2, módulo 2, argumento 0°sqrt(-4)dá 2ii^3dá -ie^(i*pi)dá -1
Decimais podem ter vírgula ou ponto: 1,5 + 2i e 1.5 + 2i são o mesmo número.
Fasores e circuitos de corrente alternada
Para um fasor, pressione Graus e digite a magnitude e o ângulo de fase na forma polar. 10∠-90 vira -10i e 2∠60 vira 1 + 1,732051i. No sentido contrário, 3 + 4j vira 5∠53.130102°: o j é lido como unidade imaginária, igual ao i.
O que esta calculadora forma polar não faz
- Um número por vez: cada campo guarda um único valor, então não há lista nem modo em lote.
- 6 casas decimais: os resultados são arredondados na exibição. O módulo só aparece como raiz exata para entradas inteiras e decimais curtas.
- Sem passos e sem gráfico: ela dá a resposta, não uma resolução detalhada, e não desenha o número em um diagrama.
- Privado: os números que você digita ficam no seu navegador e não são enviados a lugar nenhum.
Perguntas frequentes
Como converter um número complexo em forma polar?
Digite o número no campo «Forma algébrica», por exemplo 3 + 4i. O campo «Forma polar» é preenchido enquanto você digita, e o cartão de resultado mostra «Módulo r» e «Argumento θ». À mão, r = √(a² + b²) e θ = atan2(b, a), e a forma polar é r∠θ.
Qual é a forma polar de 3 + 4i?
O módulo é √(3² + 4²) = 5 e o argumento é atan2(4, 3) ≈ 0,927295 radiano, ou seja, 53,130102°. Assim, 3 + 4i = 5∠0,927295 em radianos, ou 5∠53,130102° em graus.
Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?
O módulo é a distância até o zero, r = √(a² + b²). O argumento é o ângulo a partir do eixo real positivo, θ = atan2(b, a). Digite o número no campo «Forma algébrica» e as linhas «Módulo r» e «Argumento θ» mostram os dois valores, com o módulo como raiz exata, como √2, quando for uma.
O que é o argumento de um número complexo?
É o ângulo que o número forma com o eixo real positivo. Esta calculadora mostra o argumento principal: maior que -π e até π em radianos, ou maior que -180° e até 180° em graus. Para -1 + i, é 3π/4 (135°), e não -π/4.
Qual é o argumento de zero?
Zero não tem argumento, porque não tem direção. Digite 0 e a linha «Argumento θ» mostra «Indefinido para 0», enquanto o módulo é 0.
Como passar da forma polar para a forma algébrica?
Digite a forma polar no campo «Forma polar», por exemplo 2∠60 com Graus selecionado. O campo «Forma algébrica» é preenchido como a + bi, aqui 1 + 1,732051i. À mão, a = r cos θ e b = r sen θ.
Como escrever um número complexo na forma exponencial?
A forma exponencial é r·e^(iθ), com os mesmos r e θ da forma polar. Para 1 + i, fica √2·e^(iπ/4). A calculadora lê a forma exponencial como entrada, por exemplo 2e^(i pi/3) no campo «Forma polar», mas mostra o resultado como r∠θ.
Serve para fasores e circuitos de corrente alternada?
Sim. Selecione «Graus» e digite um fasor como 10∠-90 no campo «Forma polar» para obter -10i, ou digite 3 + 4j para obter 5∠53,130102°. A unidade imaginária pode ser escrita como i ou j.
Mostra o passo a passo?
Não. Mostra a resposta, o módulo e o argumento, mas não uma resolução passo a passo. As fórmulas estão nesta página para você comparar sua própria conta com o resultado.
