Equação da reta tangente a uma função em um ponto
Esta calculadora encontra a equação da reta tangente: você digita uma função e um valor de x, e ela mostra a inclinação nesse ponto e a reta na forma y = mx + b. Mostra também a derivada, simplificada e escrita como num livro didático. Exibe só o resultado final, sem passo a passo, e funciona no navegador, sem cadastro.
Como achar a equação da reta tangente em um ponto
Para achar a reta tangente em um ponto, siga estes passos:
- Digite a função no campo Função, por exemplo
x^2 + 2x. - Digite o ponto em Valor de x (opcional), por exemplo
3. - Leia a inclinação no cartão de inclinação e a equação no cartão Reta tangente.
No exemplo, a derivada é 2x + 2, a inclinação em x = 3 é 8 e a reta tangente é y = 8x − 9.
Os resultados são atualizados cerca de um décimo de segundo depois que você para de digitar. Enquanto a expressão está pela metade, a calculadora mantém o último resultado e o escurece depois de um segundo. Deixe o valor de x vazio para ver só a derivada.
Equação da reta tangente e derivada: como se calcula
A inclinação em um ponto é o valor da derivada ali: m = f'(a). A reta tangente passa pelo ponto (a, f(a)) com essa inclinação, então o seu intercepto é b = f(a) − m·a.
Para x^2 + 2x em 3, a derivada é 2x + 2, logo m = 8. O valor da função é f(3) = 15, então b = 15 − 8·3 = −9 e a reta tangente é y = 8x − 9. A reta é escrita como num livro didático: sem 1x, sem + 0 e só y = b quando a inclinação é 0.
Inclinação da reta tangente: mais exemplos
Raízes, logaritmos e exponenciais:
sqrt(x)em 4: inclinação 0,25, reta tangentey = 0.25x + 1ln(x)em 1: inclinação 1, reta tangentey = x − 1e^xem 0: inclinação 1, reta tangentey = x + 1
Uma tangente horizontal aparece, por exemplo, com sin(x) em pi/2: a inclinação é 0 e a reta tangente é y = 1.
O valor de x pode ser um número ou uma expressão constante como pi/2. Frações e símbolos exatos continuam exatos na derivada, como 1/(3x^(2/3)) para cbrt(x). Se você digitar um decimal como 0.5x^2, a derivada mantém os decimais. A inclinação e a reta tangente são mostradas com 8 algarismos significativos.
Como escrever a função
Escreva potências como x^2, produtos como 3x ou 2*x e funções como sin(x), sqrt(x), e^x e ln(x). Coloque parênteses depois do nome de uma função, como em sin(2x).
x^2,x^(1/3): potências, inclusive fracionárias e negativas3x,2*x,x(x+1): multiplicação, escrita ou implícitapi,e: as constantes pi e o número de Eulerln(x),log(x),log10(x),log2(x): logaritmossqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): raízes, valor absoluto, e elevado a x
As funções trigonométricas (sin, cos, tan e as demais, com suas inversas) e as hiperbólicas (sinh, cosh, tanh e as demais) são aceitas. floor, ceil, round, gamma e erf não são.
Radianos ou graus
Abra Configurações e escolha Radianos (o padrão) ou Graus em Ângulos na trigonometria. Em graus, sin(x) significa o seno de x graus, as funções trigonométricas inversas devolvem graus e o valor de x também é lido em graus. Como um grau equivale a pi/180 radiano, a derivada leva um fator de pi/180, e uma nota abaixo do resultado avisa isso.
Exemplo em graus: função sin(x), valor de x 0, inclinação 0,017453293 (ou seja, pi/180) e reta tangente y = 0.017453293x.
Quando não há inclinação e o que a calculadora não faz
Quando uma função não tem uma inclinação única, o cartão diz “indefinida neste ponto (aqui não há uma única inclinação)”. Isso acontece com sqrt(x) em 0 (a tangente é vertical), com abs(x) em 0 (uma quina), com 1/x em 0, com ln(x) em um número negativo e com tan(x) em pi/2. Se a função usa outra letra, como em a*x, o cartão diz “Não é possível calcular: a não tem valor” até você trocar a letra por um número.
A calculadora encontra a primeira derivada de uma função de x e a reta tangente em um ponto, e mostra só o resultado. Ela não mostra passos e não trabalha com curvas implícitas, paramétricas ou polares, nem com derivadas parciais ou de ordem superior, nem com derivação em relação a uma letra diferente de x. Para isso, ou para uma derivada que não depende de um ponto, use a Calculadora de derivadas.
Perguntas frequentes
Como achar a equação da reta tangente ao gráfico em um ponto?
Digite a função no campo “Função” e o ponto em “Valor de x (opcional)”. O cartão “Reta tangente” mostra então a reta como y = mx + b. Para x^2 + 2x em x = 3, a inclinação é 8 e o cartão mostra y = 8x − 9. À mão, a inclinação m é a derivada no ponto e b é f(a) − m·a, em que a é o valor de x.
Como calcular reta tangente de uma função em um ponto?
Calcule a derivada da função e avalie-a no ponto a para obter a inclinação m = f'(a). Depois calcule b = f(a) − m·a. A reta tangente é y = mx + b. A calculadora faz esses passos por você e mostra o resultado.
Qual é o coeficiente angular da reta tangente?
É o valor da derivada no ponto. Digite a função e o valor de x, e o cartão de inclinação mostra esse valor com 8 algarismos significativos. O valor de x pode ser um número ou uma expressão constante como pi/2. Para sqrt(x) em 4, o coeficiente angular é 0,25.
Qual é a derivada de sin x em graus?
Se x é medido em graus, a derivada de sin(x) é (π/180)·cos(x), porque um grau equivale a π/180 radiano. Abra “Configurações”, defina “Ângulos na trigonometria” como “Graus” e a calculadora aplica esse fator por você: sin(x) em x = 0 dá uma inclinação de 0,017453293.
A calculadora mostra o passo a passo?
Não. Ela mostra a função como foi lida, a derivada simplificada, a inclinação no ponto e a reta tangente, mas não o desenvolvimento. O exemplo resolvido desta página mostra como a inclinação e o intercepto são encontrados, para você conferir cada número à mão.
Dá para achar a reta tangente a uma curva paramétrica, polar ou implícita?
Não. Ela trabalha com uma função escrita como y em termos de x e deriva somente em relação a x. Curvas paramétricas, polares e implícitas, derivadas parciais e derivadas segundas não são aceitas.
Posso usar para a aproximação linear?
Sim, para a reta em si. A reta tangente y = mx + b é a aproximação linear da função perto do seu valor de x, então você pode lê-la e substituir você mesmo um x próximo. A calculadora não avalia a aproximação em um segundo ponto nem mostra o erro.
O que significa “indefinida neste ponto (aqui não há uma única inclinação)”?
A função não tem uma única inclinação de tangente nesse valor de x. Isso acontece em uma quina como abs(x) em 0, em uma tangente vertical como sqrt(x) em 0, onde a função dispara como 1/x em 0, fora do domínio como ln(x) em um número negativo, e em tan(x) em pi/2.
A calculadora envia a minha função para um servidor?
Não. A função é lida e derivada no seu navegador, então nada do que você digita é enviado a lugar nenhum, e não há conta nem cadastro.
