Pomoc

Argument liczby zespolonej i postać biegunowa

Wpisz a + bi, a od razu zobaczysz argument liczby zespolonej, moduł i postać biegunową r∠θ. W drugą stronę działa to tak samo: wpisz postać biegunową i odczytaj a + bi. Wszystko dzieje się w twojej przeglądarce.

Postać biegunowa liczby zespolonej: jak ją wyznaczyć

Wpisz liczbę w polu Postać algebraiczna, na przykład 3 + 4i lub -1 + i. Po otwarciu strony jest tam już 3 + 4i.
Pole Postać biegunowa wypełnia się od razu. Dla 3 + 4i pojawia się 5∠0.927295.
Pod polami karta wyniku pokazuje Moduł r (tu 5) i Argument θ (tu 0,927295 rad).
Jeśli chcesz kąt w stopniach, naciśnij Stopnie pod Jednostka kąta. Postać biegunowa zmieni się na 5∠53.130102°. Radiany przywracają poprzednią jednostkę.

W drugą stronę jest tak samo: wpisz postać biegunową i odczytaj postać algebraiczną. Gdy piszesz w jednym polu, zmienia się tylko drugie.

Moduł i argument liczby zespolonej

Dla liczby a + bi postać biegunowa r∠θ ma moduł r = √(a² + b²), czyli odległość od zera, oraz argument θ = atan2(b, a), czyli kąt od dodatniej osi rzeczywistej. Argument liczby zespolonej liczymy przez atan2, a nie przez zwykły arcus tangens z b/a, żeby kąt trafił do właściwej ćwiartki. Postać trygonometryczna liczby zespolonej, r(cos θ + i sin θ), używa tych samych r i θ.

Dla -1 + i zwykły arcus tangens daje -π/4 i wskazuje złą stronę. Poprawny argument to 3π/4.

3 + 4i: r = 5, θ = 0,927295 rad (53,130102°)
1 + i: r = √2 ≈ 1,414214, θ = π/4 (45°)
-1 + i: r = √2, θ = 3π/4 (135°)
-3i: r = 3, θ = -π/2 (-90°)
-2: r = 2, θ = π (180°)
-3 - 4i: r = 5, θ = -2,214297 rad (-126,869898°)

Argument to wartość główna: większa niż -π i najwyżej π w radianach, większa niż -180° i najwyżej 180° w stopniach. W radianach pojawia się jako ułamek π, gdy jest wielokrotnością 15°, a w pozostałych przypadkach jako liczba dziesiętna. Moduł jest pokazany jako dokładny pierwiastek, na przykład √2, gdy nim jest. Liczba 0 nie ma kierunku, więc przy Argument θ widzisz „Nieokreślony dla 0”.

Od postaci biegunowej do a + bi

Wpisz postać biegunową w odpowiednim polu, a pole postaci algebraicznej pokaże a + bi, według wzorów a = r cos θ i b = r sin θ. Odczytywane są wszystkie te zapisy:

5∠0.9273 oraz 5@0.9273
5 cis 0.9273
postać wykładnicza liczby zespolonej: 5e^(i*0.9273) lub 2e^(i pi/3)
π lub pi w kącie: 5∠pi/4 daje 3,535534 + 3,535534i

Kąt bez jednostki jest odczytywany według wybranej jednostki kąta. Jeśli po kącie dopiszesz °, deg lub rad, ten zapis ma pierwszeństwo: 5∠0.9273 rad działa nawet przy wybranych stopniach.

Wybierz jednostkę, zanim wpiszesz kąt. Jeśli zmienisz potem radiany na stopnie, wpisana już liczba zostanie przeliczona, a nie odczytana od nowa: 2∠60 wpisane w radianach i przełączone na stopnie staje się 2∠-162.253229°, a nie 60°. Wyniki mają 6 miejsc po przecinku, więc 5∠0.9273 daje 2,999981 + 4,000014i: 0,9273 samo jest zaokrąglonym kątem, a dokładny kąt daje równo 3 + 4i.

Kalkulator liczb zespolonych: wyrażenia zamiast jednej liczby

Pole postaci algebraicznej oblicza proste działania na liczbach zespolonych, więc nie musisz najpierw upraszczać wyrażenia. Pole zachowuje twój zapis; postać biegunowa i karta wyniku pokazują odpowiedź. To przydatne przy przekształcaniu liczb zespolonych bez liczenia na boku.

(1+i)^2 daje 2i, moduł 2, argument 90°
2(1+i) daje 2 + 2i, moduł 2√2 ≈ 2,828427, argument 45°
(1+i)(1-i) daje 2, moduł 2, argument 0°
sqrt(-4) daje 2i
i^3 daje -i
e^(i*pi) daje -1

Ułamki dziesiętne możesz pisać z przecinkiem lub kropką: 1,5 + 2i i 1.5 + 2i to ta sama liczba.

Fazory i obwody prądu przemiennego

Dla fazora naciśnij Stopnie, a potem wpisz wartość i kąt fazowy w polu postaci biegunowej. 10∠-90 zamienia się w -10i, a 2∠60 w 1 + 1,732051i. W drugą stronę 3 + 4j daje 5∠53.130102°: j jest odczytywane jak i, jako jednostka urojona.

Czego ten kalkulator nie robi

Jedna liczba naraz: każde pole zawiera jedną wartość, więc nie ma listy ani trybu wsadowego.
6 miejsc po przecinku: wyniki są zaokrąglone do wyświetlenia. Moduł jest pokazany jako dokładny pierwiastek tylko dla krótkich danych całkowitych i dziesiętnych.
Bez kroków i bez wykresu: dostajesz odpowiedź, a nie rozwiązanie krok po kroku, i liczba nie jest rysowana na schemacie.
Prywatnie: wpisane liczby zostają w twojej przeglądarce i nigdzie nie są wysyłane.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć postać biegunową liczby zespolonej?

Wpisz liczbę w polu „Postać algebraiczna”, na przykład 3 + 4i. Pole „Postać biegunowa” wypełnia się podczas pisania, a karta wyniku pokazuje „Moduł r” i „Argument θ”. Ręcznie r = √(a² + b²) i θ = atan2(b, a), a postać biegunowa to r∠θ.

Jaka jest postać biegunowa 3 + 4i?

Moduł wynosi √(3² + 4²) = 5, a argument atan2(4, 3) ≈ 0,927295 radiana, czyli 53,130102°. Zatem 3 + 4i = 5∠0,927295 w radianach lub 5∠53,130102° w stopniach.

Jak obliczyć moduł i argument liczby zespolonej?

Moduł to odległość od zera, r = √(a² + b²). Argument to kąt od dodatniej osi rzeczywistej, θ = atan2(b, a). Wpisz liczbę w polu „Postać algebraiczna”, a wiersze „Moduł r” i „Argument θ” pokażą obie wartości, moduł jako dokładny pierwiastek, na przykład √2, gdy nim jest.

Co to jest argument liczby zespolonej?

To kąt, jaki liczba tworzy z dodatnią osią rzeczywistą. Kalkulator pokazuje argument główny: większy niż -π i najwyżej π w radianach lub większy niż -180° i najwyżej 180° w stopniach. Dla -1 + i jest to 3π/4 (135°), a nie -π/4.

Jaki jest argument zera?

Zero nie ma argumentu, bo nie ma kierunku. Wpisz 0, a wiersz „Argument θ” pokaże „Nieokreślony dla 0”, podczas gdy moduł wynosi 0.

Jak przejść od postaci biegunowej do algebraicznej?

Wpisz postać biegunową w polu „Postać biegunowa”, na przykład 2∠60 przy wybranych stopniach. Pole „Postać algebraiczna” wypełni się jako a + bi, tutaj 1 + 1,732051i. Ręcznie a = r cos θ i b = r sin θ.

Jak zapisać liczbę zespoloną w postaci wykładniczej?

Postać wykładnicza to r·e^(iθ), z tymi samymi r i θ co w postaci biegunowej. Dla 1 + i jest to √2·e^(iπ/4). Kalkulator odczytuje postać wykładniczą jako dane wejściowe, na przykład 2e^(i pi/3) w polu „Postać biegunowa”, ale wynik pokazuje jako r∠θ.

Czy działa dla fazorów i obwodów prądu przemiennego?

Tak. Wybierz „Stopnie” i wpisz fazor, na przykład 10∠-90, w polu „Postać biegunowa”, a dostaniesz -10i. Wpisz 3 + 4j, a dostaniesz 5∠53,130102°. Jednostkę urojoną możesz zapisać jako i lub j.

Czy pokazuje kroki rozwiązania?

Nie. Pokazuje odpowiedź, czyli moduł i argument, ale nie rozwiązanie krok po kroku. Wzory są na tej stronie, więc możesz porównać własne obliczenia z wynikiem.

Polecane

Kalkulator naukowy Casio fx-991ES Plus 2
Sprawdź przeliczenia a + bi na r∠θ w trybie zespolonym i zabierz go na egzamin.
Kieszonkowy oscyloskop FNIRSI DSO152
Zobacz przesunięcie fazowe dwóch sygnałów zmiennych jako kąt, to samo θ, które właśnie obliczyłeś.
Multimetr AstroAI z autozakresem
Zmierz napięcia i prądy przemienne stojące za twoimi fazorami w prawdziwym obwodzie.

Pomaga utrzymać narzędzia za darmo. ✨

Zdjęcia poglądowe. Jestem Partnerem Amazon i otrzymuję wynagrodzenie z tytułu określonych zakupów dokonywanych za moim pośrednictwem.