Styczna do wykresu funkcji w punkcie: równanie i współczynnik
Ten kalkulator wyznacza styczną do wykresu funkcji: wpisujesz funkcję i wartość x, a on pokazuje nachylenie w tym punkcie oraz równanie stycznej w postaci y = mx + b. Pokazuje też pochodną, uproszczoną i zapisaną jak w podręczniku. Wyświetla tylko wynik, bez kolejnych kroków. Działa w przeglądarce, bez rejestracji.
Jak wyznaczyć równanie stycznej w punkcie
Styczną do funkcji w punkcie wyznaczysz w trzech krokach:
- Wpisz funkcję w polu Funkcja, na przykład
x^2 + 2x. - Wpisz punkt w polu Wartość x (opcjonalnie), na przykład
3. - Odczytaj nachylenie z karty nachylenia, a równanie z karty Styczna.
W przykładzie pochodna to 2x + 2, nachylenie dla x = 3 wynosi 8, a styczna to y = 8x − 9.
Wynik odświeża się mniej więcej jedną dziesiątą sekundy po tym, jak przestaniesz pisać. Gdy wyrażenie jest dopiero w połowie wpisane, kalkulator zachowuje ostatni wynik i po sekundzie go przyciemnia. Zostaw pole x puste, aby zobaczyć tylko pochodną.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie: obliczenia
Nachylenie funkcji w danym punkcie to wartość jej pochodnej: m = f'(a). Styczna przechodzi przez punkt (a, f(a)) z tym nachyleniem, więc jej wyraz wolny to b = f(a) − m·a.
Dla x^2 + 2x w punkcie 3 pochodna to 2x + 2, więc m = 8. Wartość funkcji to f(3) = 15, zatem b = 15 − 8·3 = −9, a styczna to y = 8x − 9. Prostą zapisano tak jak w podręczniku: bez 1x, bez + 0, a przy nachyleniu 0 po prostu y = b.
Współczynnik kierunkowy stycznej: więcej przykładów
Pierwiastki, logarytmy i funkcje wykładnicze:
sqrt(x)w punkcie 4: współczynnik 0,25, stycznay = 0.25x + 1ln(x)w punkcie 1: współczynnik 1, stycznay = x − 1e^xw punkcie 0: współczynnik 1, stycznay = x + 1
Poziomą styczną dostaniesz na przykład dla sin(x) w pi/2: współczynnik wynosi 0, a styczna to y = 1.
Wartością x może być liczba albo stałe wyrażenie, takie jak pi/2. Dokładne ułamki i symbole pozostają w pochodnej dokładne, na przykład 1/(3x^(2/3)) dla cbrt(x). Jeśli wpiszesz liczbę dziesiętną, jak 0.5x^2, pochodna zachowa liczby dziesiętne. Nachylenie i styczna są podawane z dokładnością do 8 cyfr znaczących.
Jak wpisać funkcję
Potęgi zapisuj jako x^2, iloczyny jako 3x lub 2*x, a funkcje jako sin(x), sqrt(x), e^x i ln(x). Po nazwie funkcji dodaj nawiasy, jak w sin(2x).
x^2,x^(1/3): potęgi, także ułamkowe i ujemne3x,2*x,x(x+1): mnożenie, zapisane wprost lub domyślnepi,e: stałe pi i liczba Euleraln(x),log(x),log10(x),log2(x): logarytmysqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): pierwiastki, wartość bezwzględna, e do potęgi x
Obsługiwane są funkcje trygonometryczne (sin, cos, tan i pozostałe, wraz z odwrotnymi) oraz hiperboliczne (sinh, cosh, tanh i pozostałe). Funkcje floor, ceil, round, gamma i erf nie są obsługiwane.
Radiany czy stopnie
Otwórz Ustawienia i w sekcji Kąty w trygonometrii wybierz Radiany (domyślnie) albo Stopnie. W stopniach sin(x) oznacza sinus x stopni, odwrotne funkcje trygonometryczne zwracają stopnie, a wartość x też jest odczytywana w stopniach. Ponieważ jeden stopień to pi/180 radiana, pochodna zawiera czynnik pi/180, o czym informuje notatka pod wynikiem.
Przykład w stopniach: funkcja sin(x), wartość x równa 0 daje nachylenie 0,017453293 (to pi/180) i styczną y = 0.017453293x.
Gdy nie ma nachylenia i czego kalkulator nie robi
Gdy funkcja nie ma jednego nachylenia, karta pokazuje „nieokreślone w tym punkcie (nie ma tu jednego nachylenia)”. Dzieje się tak dla sqrt(x) w punkcie 0 (styczna jest pionowa), dla abs(x) w punkcie 0 (załamanie), dla 1/x w punkcie 0, dla ln(x) w liczbie ujemnej i dla tan(x) w pi/2. Jeśli funkcja zawiera inną literę, jak w a*x, karta pokazuje „Nie można obliczyć: brak wartości dla a”, dopóki nie zastąpisz litery liczbą.
Kalkulator wyznacza pierwszą pochodną funkcji zmiennej x i styczną w jednym punkcie, a pokazuje tylko wynik. Nie podaje kroków i nie obsługuje krzywych uwikłanych, parametrycznych ani biegunowych, pochodnych cząstkowych ani wyższych rzędów, ani różniczkowania względem litery innej niż x. Do tego, albo do pochodnej niezwiązanej z punktem, użyj Kalkulatora pochodnych.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie?
Wpisz funkcję w polu „Funkcja”, a punkt w polu „Wartość x (opcjonalnie)”. Karta „Styczna” pokaże wtedy prostą jako y = mx + b. Dla x^2 + 2x w x = 3 nachylenie wynosi 8, a karta pokazuje y = 8x − 9. Na papierze m to pochodna w tym punkcie, a b = f(a) − m·a, gdzie a to wartość x.
Jak wyznaczyć współczynnik kierunkowy stycznej?
Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie. Wpisz funkcję i wartość x, a karta nachylenia poda ją z dokładnością do 8 cyfr znaczących. Wartością x może być liczba albo stałe wyrażenie, takie jak pi/2. Dla sqrt(x) w punkcie 4 wynosi 0,25.
Jak obliczyć styczną do funkcji w punkcie bez pochodnej?
Kalkulator oblicza pochodną sam. Ty wpisujesz tylko funkcję i punkt, a on wyznacza pochodną, nachylenie i styczną. Ręcznie potrzebujesz pochodnej, żeby znaleźć m, a potem b = f(a) − m·a.
Jaka jest pochodna sin x w stopniach?
Jeśli x mierzysz w stopniach, pochodna sin(x) to (π/180)·cos(x), bo jeden stopień to π/180 radiana. Otwórz „Ustawienia”, ustaw „Kąty w trygonometrii” na „Stopnie”, a kalkulator uwzględni ten czynnik za ciebie: sin(x) w x = 0 daje nachylenie 0,017453293.
Czy kalkulator pokazuje kroki?
Nie. Pokazuje odczytaną funkcję, uproszczoną pochodną, nachylenie w punkcie i styczną, ale nie tok obliczeń. Przykład na tej stronie pokazuje, jak wyznacza się nachylenie i wyraz wolny, więc możesz sprawdzić każdą liczbę ręcznie.
Czy znajdzie styczną do krzywej parametrycznej, biegunowej lub uwikłanej?
Nie. Obsługuje funkcję zapisaną jako y względem x i różniczkuje tylko po x. Krzywe parametryczne, biegunowe i uwikłane, pochodne cząstkowe oraz drugie pochodne nie są obsługiwane.
Czy mogę go użyć do przybliżenia liniowego?
Tak, do samej prostej. Styczna y = mx + b to liniowe przybliżenie funkcji w pobliżu twojej wartości x, więc możesz ją odczytać i samodzielnie podstawić pobliskie x. Kalkulator nie liczy przybliżenia w drugim punkcie ani błędu.
Co oznacza „nieokreślone w tym punkcie (nie ma tu jednego nachylenia)”?
Funkcja nie ma jednego nachylenia stycznej dla tej wartości x. Tak jest przy załamaniu, jak abs(x) w 0, przy pionowej stycznej, jak sqrt(x) w 0, tam gdzie funkcja rośnie bez ograniczenia, jak 1/x w 0, poza dziedziną, jak ln(x) w liczbie ujemnej, oraz dla tan(x) w pi/2.
Czy kalkulator wysyła moją funkcję na serwer?
Nie. Funkcja jest odczytywana i różniczkowana w twojej przeglądarce, więc nic, co wpisujesz, nie jest nigdzie wysyłane, a konta ani rejestracji nie ma.
Polecane
-
Kalkulator naukowy Casio fx-991ES Plus 2Sprawdź nachylenie w x = a, a na klasówce policz styczną samodzielnie.
-
Kalkulator graficzny TI-84 Plus CENarysuj wykres i jego styczną, by zobaczyć, że nachylenie się zgadza.
-
Notes Leuchtturm1917 A5 w kropkiSzkicuj krzywą i styczną na kartkach w kropki, zadanie po zadaniu.
Pomaga utrzymać narzędzia za darmo. ✨
Zdjęcia poglądowe. Jestem Partnerem Amazon i otrzymuję wynagrodzenie z tytułu określonych zakupów dokonywanych za moim pośrednictwem.
