Pomoc

Kalkulator pochodnych: oblicz pochodną funkcji

Ten kalkulator pochodnych znajduje dokładną pochodną funkcji w trakcie pisania i pokazuje ją tak, jak w podręczniku, obok wpisanej funkcji. Podaj punkt, a dostaniesz też wartość pochodnej w tym punkcie. Zwraca tylko gotową pochodną, bez kolejnych kroków, a całość działa w twojej przeglądarce, bez rejestracji.

Oblicz pochodną: jak działa kalkulator

Kalkulator liczy w trakcie pisania. Oto jak z niego korzystać:

Wpisz funkcję w polu Funkcja, na przykład 3x^2 + 2x.
Po krótkiej pauzie karta wyniku pokazuje dwa wiersze: Funkcja, czyli f(x) tak, jak odczytał ją kalkulator, oraz Pochodna, czyli f'(x) w postaci uproszczonej. Dla 3x^2 + 2x jest to 6x + 2.
Zmień wyrażenie, a wynik się odświeży.

Dopóki wyrażenie jest wpisane do połowy, karta zachowuje ostatni poprawny wynik i przyciemnia go po sekundzie, z komunikatem „Ostatni wynik pozostaje, dopóki wyrażenie nie będzie pełne.” Odpowiedzi to dokładne ułamki i symbole, takie jak 1/(3x^(2/3)) dla pochodnej cbrt(x). Jeśli wpiszesz liczbę dziesiętną, np. 0.5x^2, odpowiedź zachowa ułamki dziesiętne.

Jak obliczyć pochodną: co możesz wpisać

Zapisuj funkcję tak, jak w arkuszu kalkulacyjnym albo na kalkulatorze graficznym. Po nazwie funkcji dodaj nawiasy, jak w sin(2x). Sama litera lub liczba, jak w sin x, też zostanie zrozumiana, ale sin 2x już nie. Ułamki dziesiętne zapisuj z kropką.

x^2, x^(1/3): potęgi, także ułamkowe i ujemne
3x, 2*x, x(x+1), 2sin(x): mnożenie, zapisane wprost lub domyślne
ax: a razy x, gdzie a jest traktowane jako stała
pi lub π, e: stałe pi i liczba Eulera
ln(x), log(x): logarytm naturalny
log(x, 2), log10(x), log2(x): logarytm o innej podstawie
sqrt(x), cbrt(x), nthRoot(x, 4): pierwiastek kwadratowy, sześcienny i n-tego stopnia
abs(x), exp(x): wartość bezwzględna, e do potęgi x

Funkcje trygonometryczne: sin, cos, tan, sec, csc, cot, ich odwrotności asin, acos, atan (lub arcsin i tak dalej) oraz funkcje hiperboliczne sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth z odwrotnościami, np. asinh.

Pochodna funkcji w punkcie

Otwórz Opcje i wpisz wartość w polu Oblicz pochodną w punkcie. Karta pokaże wtedy f'(wartość) = liczba, z dokładnością do 10 cyfr znaczących. Wartością może być liczba albo stałe wyrażenie, np. pi/2. Jeśli pochodna w tym punkcie nie istnieje, karta pokaże „nieokreślona w tym punkcie”.

Przykład: funkcja 3x^2 + 2x, pochodna 6x + 2, obliczona w punkcie 2: f'(2) = 14.

Różniczkowanie względem innej zmiennej

Domyślną zmienną jest x. Aby różniczkować względem innej litery, na przykład t, zmień pole Różniczkuj względem w Opcjach. Każda inna litera w funkcji jest traktowana jako stała, a kalkulator pokaże ci, które to litery. Tak więc a sin(t) względem t daje a cos(t).

Pochodna e^x, ln x i pierwiastka: przykłady

Reguła iloczynu i pochodna funkcji złożonej:

x^2 sin(x) daje 2x sin(x) + x^2 cos(x)
ln(x^2 + 1) daje 2x/(x^2 + 1)
(x^2 + 1)^3 daje 6x(x^2 + 1)^2

Ilorazy, pierwiastki i funkcje wykładnicze:

sin(x)/x daje (x cos(x) - sin(x))/x^2
cbrt(x) daje 1/(3x^(2/3))
2^x daje 2^x ln(2)

Wyniki z reguły iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej są łączone w jedno wyrażenie, ale nie zawsze całkowicie rozkładane na czynniki, więc odpowiedź z twojego podręcznika może wyglądać nieco inaczej i mimo to być równa. Wyniki sprawdzono ilorazem różnicowym na około 90 funkcjach testowych.

Czego ten kalkulator nie robi

Znajduje pierwszą pochodną funkcji jednej zmiennej i pokazuje sam wynik. Nie podaje kroków i nie liczy pochodnych niejawnych, cząstkowych ani wyższych rzędów, ani całek. Nie zróżniczkuje erf, floor, ceil, round, sign, gamma, silni ani funkcji określonych przedziałami, a przy próbie pokaże komunikat w rodzaju „Nie można jeszcze zróżniczkować: erf.” (z nazwą funkcji).

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pochodną funkcji w punkcie za pomocą kalkulatora?

Wpisz funkcję, otwórz „Opcje” i podaj punkt w polu „Oblicz pochodną w punkcie”. Karta pokaże wartość pochodnej w tym punkcie, z dokładnością do 10 cyfr znaczących. Punktem może być zwykła liczba, np. 2, albo stałe wyrażenie, np. pi/2. Dla 3x^2 + 2x w punkcie 2 karta pokazuje 14.

Jaka jest pochodna funkcji sin(x)/x?

Z reguły ilorazu pochodna sin(x)/x wynosi (x cos(x) - sin(x))/x^2. Wpisz sin(x)/x w polu „Funkcja”, a kalkulator zwróci dokładnie to, już połączone w jeden ułamek.

Jaka jest pochodna e^x i pochodna ln x?

Pochodna e^x to e^x, a pochodna ln x to 1/x. W polu „Funkcja” wpisz e^x i ln(x). Kalkulator traktuje zarówno ln, jak i log jako logarytm naturalny, a log(x, 2) jako logarytm o podstawie 2.

Jak obliczyć pochodną pierwiastka kwadratowego lub sześciennego?

Wpisz sqrt(x) dla pierwiastka kwadratowego albo cbrt(x) dla sześciennego. Pochodna cbrt(x) wraca jako 1/(3x^(2/3)), a pochodna sqrt(x) jako 1/(2 sqrt(x)). Możesz też zapisać potęgę ułamkową, na przykład x^(1/3).

Jak różniczkować względem zmiennej innej niż x?

Otwórz „Opcje” i wpisz literę w polu „Różniczkuj względem”, na przykład t. Każda inna litera w funkcji jest wtedy traktowana jako stała, więc a sin(t) daje a cos(t). Zmienna musi być jedną literą, a e jest zarezerwowane dla liczby Eulera.

Czy kalkulator pochodnych pokazuje kolejne kroki?

Nie. Zwraca tylko gotową pochodną, bez rozwiązania krok po kroku. Ponieważ pochodna iloczynu, ilorazu lub funkcji złożonej jest łączona w jedno wyrażenie, możesz sam sprawdzić wynik regułą iloczynu, ilorazu lub łańcuchową.

Czy policzy pochodne cząstkowe, niejawne lub drugiego rzędu?

Nie. Znajduje pierwszą pochodną funkcji jednej zmiennej. Pochodne niejawne, cząstkowe i wyższych rzędów, całki oraz funkcje określone przedziałami nie są obsługiwane, a przy funkcjach takich jak erf, floor, ceil, round, sign, gamma i silnia pojawia się komunikat, że nie można ich jeszcze zróżniczkować.

Czy moja funkcja jest wysyłana na serwer?

Nie. Wyrażenie jest odczytywane i różniczkowane w twojej przeglądarce, więc nic z tego, co wpisujesz, nie jest nigdzie wysyłane, a konto ani rejestracja nie są potrzebne.

Polecane

Ołówek automatyczny Pentel GraphGear 500
Policz pochodną ręcznie, a potem sprawdź wynik tutaj.
Kalkulator graficzny Casio fx-9750GIII
Narysuj funkcję i jej nachylenie, by zobaczyć, co oznacza pochodna.
Tablet graficzny XPPen Deco 01 V3
Pisz rozwiązane przykłady ręcznie na ekranie, na lekcję lub do nauki.

Pomaga utrzymać narzędzia za darmo. ✨

Zdjęcia poglądowe. Jestem Partnerem Amazon i otrzymuję wynagrodzenie z tytułu określonych zakupów dokonywanych za moim pośrednictwem.