Eenheidscirkel met sin, cos en tan: sleep het punt
Sleep het blauwe punt over de eenheidscirkel en zie hoe sin, cos en tan veranderen met de hoek. Elke waarde wordt getekend als een gekleurd lijnstuk, zodat je ziet waar ze vandaan komt in plaats van een tabel uit je hoofd te leren. Alles draait in je browser, zonder upload en zonder account.
Zo gebruik je de eenheidscirkel
- Sleep het blauwe punt met de muis of je vinger rond de cirkel. Het springt naar hele graden, dus 90° en 270° raak je precies. De waarde bovenaan (aan het begin θ 45°) volgt het punt.
- Of typ een hoek in het vak "Hoek". Het accepteert 0 tot 360 in graden en 0 tot 6,2832 in radialen; buiten dat bereik verschijnt een hint.
- Voor kleine stapjes zet je de focus op het punt: de pijltjestoetsen verplaatsen het 1 graad, Page Up en Page Down 15 graden en Home brengt het terug naar 0.
- Lees het waardenpaneel af: de kaarten sin θ, cos θ en tan θ worden op elke positie bijgewerkt, met 4 decimalen.
Eenheidscirkel uitleg: wat de gekleurde lijnstukken betekenen
De cirkel heeft straal 1, dus het punt bij hoek θ, tegen de klok in gemeten vanaf de positieve x-as (de kleine boog), ligt op (cos θ, sin θ). Elke functie hoort bij één lijnstuk en één kaart.
- sin θ (oranje): het verticale lijnstuk van de x-as omhoog naar het punt. De lengte is de hoogte (y) van het punt.
- cos θ (groen): het horizontale lijnstuk langs de x-as vanuit het middelpunt. De lengte is de breedte (x) van het punt.
- tan θ (paars): het verticale lijnstuk op de lijn x = 1, de raaklijn. Een gestippelde halfrechte vanuit het middelpunt door het punt raakt die lijn, en tan θ is de hoogte waar hij landt. Daarom is tan θ = sin ÷ cos.
Een lijnstuk aan de andere kant van een as betekent een negatieve waarde: het cos-lijnstuk wijst naar links in het tweede en derde kwadrant, het sin-lijnstuk naar beneden in het derde en vierde.
Eenheidscirkel waarden bij bekende hoeken
Dit zijn de getallen die de kaarten tonen bij een paar bekende hoeken. Sleep het punt ernaartoe om ze te controleren. Zo ziet een eenheidscirkel tabel eruit:
- 0°: sin 0,0000 · cos 1,0000 · tan 0,0000
- 30°: sin 0,5000 · cos 0,8660 · tan 0,5774
- 45°: sin 0,7071 · cos 0,7071 · tan 1,0000
- 60°: sin 0,8660 · cos 0,5000 · tan 1,7321
- 90°: sin 1,0000 · cos 0,0000 · tan ongedefinieerd
- 120°: sin 0,8660 · cos -0,5000 · tan -1,7321
- 210°: sin -0,5000 · cos -0,8660 · tan 0,5774
Tangens op de eenheidscirkel: waarom hij bij 90° en 270° ontbreekt
Bij 90° en 270° ligt het punt precies boven of onder het middelpunt, dus cos θ is 0 en de deling sin ÷ cos heeft geen uitkomst. De gestippelde halfrechte raakt de lijn x = 1 nooit, het paarse lijnstuk verdwijnt en de kaart toont "Ongedefinieerd".
Hetzelfde gebeurt met sec θ bij die twee hoeken. Bij csc θ en cot θ is het sin θ die 0 is, bij 0°, 180° en 360°.
Graden en radialen
Met de schakelaar "Eenheid" wissel je de weergave en het vak "Hoek" tussen "Graden" en "Radialen". Radialen staan als decimalen: 90° is 1,5708 rad, 180° is 3,1416 rad en een hele draai is 6,2832 rad. De tekening en de waarden veranderen niet, alleen de manier waarop de hoek is opgeschreven.
Secans, cosecans en cotangens
Vink Toon secans, cosecans en cotangens aan om de drie omgekeerde functies toe te voegen: sec θ (1 ÷ cos), csc θ (1 ÷ sin) en cot θ (cos ÷ sin). In de tekening is sec een karmozijnrood lijnstuk op de x-as, csc een groenblauw lijnstuk op de y-as en cot een amberkleurig lijnstuk langs de lijn y = 1, samen met een gestippelde raaklijn aan de cirkel in het punt.
Wil je dezelfde sinusgolf in een grafiek zien, teken dan y = sin(x) in de Grafische rekenmachine. Voor de helling van sin en cos probeer je de Afgeleide calculator. Voor cirkelmaten buiten de goniometrie gebruik je de Cirkeloppervlakte Rekenmachine.
Veelgestelde vragen
Hoe werkt de tangens op de eenheidscirkel?
De tangens is sin ÷ cos, en op de cirkel is het een lengte die je kunt zien. Trek een halfrechte vanuit het middelpunt door het punt en verleng hem tot de verticale lijn x = 1: de hoogte waar hij landt is tan θ. Het paarse lijnstuk in de tekening is precies dat. Bij 45° landt hij op hoogte 1, dus tan 45° is 1,0000.
Waarom is tan 90 niet gedefinieerd?
Bij 90° ligt het punt recht boven het middelpunt, dus cos θ is 0 en tan θ = sin ÷ cos zou 1 door 0 delen. Meetkundig loopt de halfrechte door het middelpunt en het punt evenwijdig aan de lijn x = 1 en snijdt hem nooit, dus er is geen tan-lijnstuk om te tekenen. Sleep naar 90° of 270° en tan θ toont "Ongedefinieerd" terwijl het paarse lijnstuk verdwijnt.
Waarom is cos 90 nul?
cos θ is de horizontale positie (x) van het punt. Bij 90° ligt het punt recht boven het middelpunt, de x-positie is 0 en het groene cos-lijnstuk krimpt tot niets. De kaart toont 0,0000, en sin θ is 1,0000 omdat het punt op volle hoogte staat.
Wat zijn secans, cosecans en cotangens?
Het zijn de omgekeerden van de drie hoofdfuncties: sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ en cot θ = cos ÷ sin. Zet "Toon secans, cosecans en cotangens" aan om hun kaarten en lijnstukken aan de tekening toe te voegen. sec is ongedefinieerd bij 90° en 270°, csc en cot bij 0°, 180° en 360°.
Hoe lees ik sinus en cosinus af op de eenheidscirkel?
Lees ze af aan de coördinaten van het punt. Het punt bij hoek θ is (cos θ, sin θ): cos θ is hoe ver het rechts of links van het middelpunt ligt en sin θ hoe ver boven of onder de x-as. Bij 30° tonen de kaarten sin 0,5000 en cos 0,8660. Links van het middelpunt en onder de as worden de waarden negatief, zoals bij 210°, waar beide negatief zijn.
Kan ik radialen gebruiken in plaats van graden?
Ja. Zet de schakelaar "Eenheid" van "Graden" op "Radialen", dan gebruiken de θ-weergave en het vak "Hoek" radialen, van 0 tot 6,2832. Radialen staan als decimalen en niet als veelvouden van π, dus 90° staat er als 1,5708 rad en 180° als 3,1416 rad.
Wat zijn de exacte waarden op de eenheidscirkel?
De kaarten tonen de waarden op 4 decimalen, bijvoorbeeld sin 30° = 0,5000 en cos 30° = 0,8660. Exacte waarden met wortels schrijft de tool niet uit, maar je ziet wel direct welk getal erbij hoort.
Aanbevolen
-
Casio fx-991ES Plus 2 wetenschappelijke rekenmachineControleer de waarden met 4 decimalen die je net zag met een echte rekenmachine vóór het examen.
-
Magnetisch bureauwhiteboard met stiftenTeken de cirkel en zet sin, cos en tan in drie kleuren op het bord voor de hele klas.
-
XPPen Deco 01 V3 tekentabletTeken de eenheidscirkel op het scherm, zodat een klas op afstand elke hoek kan volgen.
Help de tools gratis te houden. ✨
Afbeeldingen dienen ter illustratie. Als Amazon-Partner verdien ik aan in aanmerking komende aankopen.
