단위원 삼각함수: 점을 끌어 sin, cos, tan 보기
파란 점을 단위원을 따라 끌면 각도에 따라 sin, cos, tan이 어떻게 변하는지 볼 수 있어요. 값마다 색깔 선분으로 그려져서, 표를 외우지 않아도 값이 어디에서 나오는지 알 수 있어요. 모든 계산은 브라우저에서 이루어지고, 업로드나 계정은 필요 없어요.
단위원 사용 방법
- 파란 점을 마우스나 손가락으로 원 둘레를 따라 끌어 보세요. 점은 1도 단위로 움직여서 90°와 270°에도 정확히 맞출 수 있어요. 위쪽 표시(처음에는 θ 45°)가 점을 따라 바뀌어요.
- '각도' 칸에 직접 입력해도 돼요. 도는 0~360, 라디안은 0~6.2832까지 입력할 수 있고, 범위를 벗어나면 안내가 나타나요.
- 세밀하게 움직이려면 점에 초점을 두고 방향키로 1도, Page Up과 Page Down으로 15도씩 움직이세요. Home을 누르면 0으로 돌아가요.
- 값 패널을 확인하세요. sin θ, cos θ, tan θ 카드가 위치마다 소수점 넷째 자리까지 갱신돼요.
단위원 그래프의 색깔 선분은 무엇을 뜻할까요
원의 반지름은 1이라서, 양의 x축에서 시계 반대 방향으로 잰 각도 θ(작은 호)에 있는 점은 (cos θ, sin θ)에 있어요. 함수마다 선분 하나와 카드 하나가 대응해요.
- sin θ(주황): x축에서 점까지 올라가는 세로 선분이에요. 길이는 점의 높이(y)예요.
- cos θ(초록): 중심에서 x축을 따라 가는 가로 선분이에요. 길이는 점의 너비(x)예요.
- tan θ(보라): 접선인 직선 x = 1 위의 세로 선분이에요. 중심에서 점을 지나는 점선 반직선이 이 직선에 닿고, 닿은 높이가 tan θ예요. 그래서 tan θ = sin ÷ cos예요.
선분이 축의 반대쪽에 있으면 음수예요. cos 선분은 제2·제3사분면에서 왼쪽을, sin 선분은 제3·제4사분면에서 아래쪽을 향해요.
삼각함수 단위원 풀이: 자주 쓰는 각의 값
익숙한 각도에서 카드에 나오는 값이에요. 점을 그 각도까지 끌어서 확인해 보세요.
- 0°: sin 0.0000 · cos 1.0000 · tan 0.0000
- 30°: sin 0.5000 · cos 0.8660 · tan 0.5774
- 45°: sin 0.7071 · cos 0.7071 · tan 1.0000
- 60°: sin 0.8660 · cos 0.5000 · tan 1.7321
- 90°: sin 1.0000 · cos 0.0000 · tan 정의되지 않음
- 120°: sin 0.8660 · cos -0.5000 · tan -1.7321
- 210°: sin -0.5000 · cos -0.8660 · tan 0.5774
90°와 270°에서 tan이 정의되지 않는 이유
90°와 270°에서는 점이 중심의 바로 위나 아래에 있어서 cos θ가 0이고, sin ÷ cos는 나눌 수 없어요. 점선 반직선은 직선 x = 1에 닿지 않고, 보라색 선분은 사라지며, 카드에는 '정의되지 않음'이 표시돼요.
sec θ도 이 두 각도에서 같아요. csc θ와 cot θ는 sin θ가 0이 되는 0°, 180°, 360°에서 정의되지 않아요.
도와 라디안 바꾸기
'단위'를 바꾸면 표시와 '각도' 칸이 '도'와 '라디안' 사이에서 바뀌어요. 라디안은 소수로 표시돼요. 90°는 1.5708 rad, 180°는 3.1416 rad, 한 바퀴는 6.2832 rad예요. 그림과 값은 그대로이고 각도를 쓰는 방식만 달라져요.
시컨트, 코시컨트, 코탄젠트
시컨트, 코시컨트, 코탄젠트 표시를 체크하면 역수 함수 세 개가 더해져요. sec θ(1 ÷ cos), csc θ(1 ÷ sin), cot θ(cos ÷ sin)예요. 그림에서 sec는 x축 위의 진홍색 선분, csc는 y축 위의 청록색 선분, cot는 직선 y = 1을 따라가는 호박색 선분이고, 점에서 원에 접하는 점선 접선도 함께 나타나요.
같은 사인 곡선을 그래프로 보고 싶다면 그래프 계산기에서 y = sin(x)를 그려 보세요. sin과 cos의 기울기는 미분 계산기로 확인하고, 삼각함수와 관계없는 원의 계산은 원 넓이 계산기를 쓰면 돼요.
자주 묻는 질문
단위원 탄젠트는 어떻게 구하나요?
탄젠트는 sin ÷ cos이고, 단위원 위에서는 눈으로 볼 수 있는 길이예요. 중심에서 점을 지나는 반직선을 그어 세로선 x = 1까지 늘이면, 닿은 높이가 tan θ예요. 그림의 보라색 선분이 바로 그거예요. 45°에서는 높이 1에 닿아서 tan 45°는 1.0000이에요.
tan 90°는 왜 정의되지 않나요?
90°에서는 점이 중심 바로 위에 있어서 cos θ가 0이고, tan θ = sin ÷ cos는 1을 0으로 나누는 셈이에요. 기하로 보면 중심과 점을 지나는 반직선은 직선 x = 1과 평행해서 만나지 않으니, 그릴 tan 선분이 없어요. 90°나 270°로 끌면 보라색 선분이 사라지고 tan θ가 '정의되지 않음'으로 바뀌어요.
cos 90°는 왜 0인가요?
cos θ는 점의 가로 위치(x)예요. 90°에서는 점이 중심 바로 위에 있어서 x가 0이고, 초록색 cos 선분이 없어져요. 카드에는 0.0000이 표시되고, 점이 가장 높은 곳에 있어서 sin θ는 1.0000이에요.
시컨트, 코시컨트, 코탄젠트는 무엇인가요?
기본 세 함수의 역수예요. sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ, cot θ = cos ÷ sin이에요. '시컨트, 코시컨트, 코탄젠트 표시'를 켜면 카드와 선분이 그림에 더해져요. sec는 90°와 270°에서, csc와 cot는 0°, 180°, 360°에서 정의되지 않아요.
단위원에서 sin과 cos는 어떻게 읽나요?
점의 좌표에서 읽어요. 각도 θ에 있는 점은 (cos θ, sin θ)라서, cos θ는 중심에서 오른쪽이나 왼쪽으로 얼마나 떨어졌는지, sin θ는 x축 위나 아래로 얼마나 떨어졌는지를 나타내요. 30°에서 카드에는 sin 0.5000과 cos 0.8660이 나와요. 중심 왼쪽과 축 아래에서는 값이 음수가 되고, 210°에서는 둘 다 음수예요.
도 대신 라디안을 쓸 수 있나요?
네. '단위'를 '도'에서 '라디안'으로 바꾸면 θ 표시와 '각도' 칸이 라디안(0~6.2832)으로 바뀌어요. π의 배수가 아니라 소수로 표시되어서 90°는 1.5708 rad, 180°는 3.1416 rad로 읽혀요.
