Equazione della retta tangente a una funzione in un punto
Questo calcolatore trova l’equazione della retta tangente: scrivi una funzione e un valore di x, e ottieni la pendenza in quel punto e la retta nella forma y = mx + b. Mostra anche la derivata, semplificata e composta come in un libro di testo. Mostra solo il risultato, senza i passaggi, e funziona nel tuo browser, senza registrazione.
Come trovare la retta tangente in un punto
Per trovare la retta tangente in un punto, segui questi passaggi:
- Scrivi la funzione nel campo Funzione, per esempio
x^2 + 2x. - Scrivi il punto in Valore di x (facoltativo), per esempio
3. - Leggi la pendenza sulla scheda della pendenza e l’equazione sulla scheda Retta tangente.
Nell’esempio la derivata è 2x + 2, la pendenza in x = 3 è 8 e la retta tangente è y = 8x − 9.
I risultati si aggiornano circa un decimo di secondo dopo che smetti di scrivere. Finché un’espressione è a metà, il calcolatore tiene l’ultimo risultato e lo attenua dopo un secondo. Lascia vuoto il valore di x per vedere solo la derivata.
Equazione della retta tangente in un punto: come si calcola
La pendenza di una funzione in un punto è il valore della sua derivata lì: m = f'(a). La retta tangente passa per il punto (a, f(a)) con quella pendenza, quindi la sua intercetta è b = f(a) − m·a.
Per x^2 + 2x in 3 la derivata è 2x + 2, quindi m = 8. Il valore della funzione è f(3) = 15, perciò b = 15 − 8·3 = −9 e la retta tangente è y = 8x − 9. La retta è scritta come in un libro di testo: senza 1x, senza + 0 e semplicemente y = b quando la pendenza è 0.
Retta tangente alla curva: altri esempi
Radici, logaritmi ed esponenziali:
sqrt(x)in 4: pendenza 0,25, retta tangentey = 0.25x + 1ln(x)in 1: pendenza 1, retta tangentey = x − 1e^xin 0: pendenza 1, retta tangentey = x + 1
Una tangente orizzontale si ha, per esempio, con sin(x) in pi/2: la pendenza è 0 e la retta tangente è y = 1.
Il valore di x può essere un numero o un’espressione costante come pi/2. Frazioni e simboli esatti restano esatti nella derivata, per esempio 1/(3x^(2/3)) per cbrt(x). Se scrivi un decimale come 0.5x^2, la derivata mantiene i decimali. Pendenza e retta tangente sono mostrate con 8 cifre significative.
Come scrivere la funzione
Scrivi le potenze come x^2, i prodotti come 3x o 2*x e le funzioni come sin(x), sqrt(x), e^x e ln(x). Metti le parentesi dopo il nome di una funzione, come in sin(2x).
x^2,x^(1/3): potenze, anche frazionarie e negative3x,2*x,x(x+1): moltiplicazione, scritta o sottintesapi,e: le costanti pi e numero di Neperoln(x),log(x),log10(x),log2(x): logaritmisqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): radici, valore assoluto, e elevato a x
Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan e le altre, con le inverse) e iperboliche (sinh, cosh, tanh e le altre) sono supportate. floor, ceil, round, gamma ed erf non lo sono.
Radianti o gradi
Apri Impostazioni e scegli Radianti (il valore predefinito) o Gradi sotto Angoli in trigonometria. In gradi, sin(x) indica il seno di x gradi, le funzioni trigonometriche inverse restituiscono gradi e anche il valore di x è letto in gradi. Poiché un grado è pi/180 radianti, la derivata ha un fattore pi/180, e una nota sotto il risultato lo segnala.
Esempio in gradi: funzione sin(x), valore di x 0, pendenza 0,017453293 (cioè pi/180) e retta tangente y = 0.017453293x.
Quando non c’è una pendenza e cosa non fa il calcolatore
Quando una funzione non ha una pendenza unica, la scheda dice «non definita in questo punto (qui non c’è una pendenza unica)». Succede con sqrt(x) in 0 (la tangente è verticale), con abs(x) in 0 (un punto angoloso), con 1/x in 0, con ln(x) in un numero negativo e con tan(x) in pi/2. Se la funzione usa un’altra lettera, come in a*x, la scheda dice «Impossibile calcolare: a non ha un valore» finché non sostituisci la lettera con un numero.
Il calcolatore trova la derivata prima di una funzione di x e la retta tangente in un punto, e mostra solo il risultato. Non fornisce i passaggi e non gestisce curve implicite, parametriche o polari, né derivate parziali o di ordine superiore, né la derivazione rispetto a una lettera diversa da x. Per questo, o per una derivata non legata a un punto, usa il Calcolatore di derivate.
Domande frequenti
Come trovare la retta tangente a una funzione in un punto?
Scrivi la funzione nel campo «Funzione» e il punto in «Valore di x (facoltativo)». La scheda «Retta tangente» mostra poi la retta come y = mx + b. Per x^2 + 2x in x = 3 la pendenza è 8 e la scheda mostra y = 8x − 9. A mano, la pendenza m è la derivata nel punto e b è f(a) − m·a, dove a è il valore di x.
Come calcolare la pendenza della retta tangente?
Scrivi la funzione e il valore di x. La scheda della pendenza dà il valore della derivata in quel punto, con 8 cifre significative. Il valore di x può essere un numero o un’espressione costante come pi/2. Per sqrt(x) in 4 la pendenza è 0,25.
Qual è il coefficiente angolare della tangente in un punto?
È il valore della derivata in quel punto: coincide con la pendenza mostrata dalla scheda dopo aver scritto la funzione e il valore di x. Per x^2 + 2x in x = 3 il coefficiente angolare della tangente è 8.
Qual è la derivata di sin x in gradi?
Se x è misurato in gradi, la derivata di sin(x) è (π/180)·cos(x), perché un grado è π/180 radianti. Apri «Impostazioni», imposta «Angoli in trigonometria» su «Gradi» e il calcolatore applica questo fattore per te: sin(x) in x = 0 dà una pendenza di 0,017453293.
Il calcolatore mostra i passaggi?
No. Mostra la funzione come l’ha letta, la derivata semplificata, la pendenza nel punto e la retta tangente, ma non lo svolgimento. L’esempio svolto in questa pagina mostra come si trovano pendenza e intercetta, così puoi controllare ogni numero a mano.
Può trovare la tangente a una curva parametrica, polare o implicita?
No. Gestisce una funzione scritta come y in funzione di x e deriva solo rispetto a x. Curve parametriche, polari e implicite, derivate parziali e derivate seconde non sono supportate.
Posso usarlo per l’approssimazione lineare?
Sì, per la retta in sé. La retta tangente y = mx + b è l’approssimazione lineare della funzione vicino al tuo valore di x: la leggi e sostituisci tu un x vicino. Il calcolatore non valuta l’approssimazione in un secondo punto e non dà l’errore.
Cosa significa «non definita in questo punto (qui non c’è una pendenza unica)»?
La funzione non ha una pendenza di tangente unica in quel valore di x. Succede in un punto angoloso come abs(x) in 0, in una tangente verticale come sqrt(x) in 0, dove la funzione diverge come 1/x in 0, fuori dal dominio come ln(x) in un numero negativo, e con tan(x) in pi/2.
Il calcolatore invia la mia funzione a un server?
No. La funzione viene letta e derivata nel tuo browser, quindi nulla di ciò che scrivi viene inviato altrove, e non ci sono account né registrazione.
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