Nombre complexe forme polaire : module et argument
Nombre complexe, forme polaire : saisissez a + bi et lisez r∠θ aussitôt, ou faites l’inverse. Le module et l’argument apparaissent sous les champs, et tout se passe dans votre navigateur.
Passer d’un nombre complexe à sa forme polaire
- Saisissez le nombre dans le champ Forme algébrique, par exemple
3 + 4iou-1 + i. La page s’ouvre avec 3 + 4i déjà saisi. - Le champ Forme polaire se remplit aussitôt. Pour 3 + 4i, il affiche
5∠0.927295. - Sous les champs, la carte de résultat donne le Module r (ici 5) et l’Argument θ (ici 0,927295 rad).
- Pour obtenir l’angle en degrés, appuyez sur Degrés sous Unité d'angle. Le champ de forme polaire devient
5∠53.130102°. Appuyez sur Radians pour revenir.
Pour faire le chemin inverse, saisissez la forme polaire et lisez la forme algébrique. Quand vous écrivez dans un champ, seul l’autre change.
Module et argument d’un nombre complexe : le calcul
Pour un nombre complexe a + bi, la forme polaire r∠θ comprend le module r = √(a² + b²), la distance au zéro, et l’argument θ = atan2(b, a), l’angle avec l’axe réel positif. La forme trigonométrique d’un nombre complexe, r(cos θ + i sin θ), reprend les mêmes r et θ.
La calculatrice utilise atan2 plutôt qu’un simple arctangente de b/a, afin que l’angle tombe dans le bon quadrant. Pour -1 + i, l’arctangente donne -π/4, qui pointe du mauvais côté ; l’argument correct est 3π/4.
- 3 + 4i : r = 5, θ = 0,927295 rad (53,130102°)
- 1 + i : r = √2 ≈ 1,414214, θ = π/4 (45°)
- -1 + i : r = √2, θ = 3π/4 (135°)
- -3i : r = 3, θ = -π/2 (-90°)
- -2 : r = 2, θ = π (180°)
- -3 - 4i : r = 5, θ = -2,214297 rad (-126,869898°)
L’argument est la valeur principale : strictement supérieure à -π et au plus égale à π en radians, strictement supérieure à -180° et au plus égale à 180° en degrés. En radians, il s’affiche en fraction de π quand c’est un multiple de 15°, et en décimal sinon. Le module s’affiche en racine exacte, comme √2, lorsqu’il en est une. Le nombre 0 n’a pas de direction : son Argument θ indique « Non défini pour 0 ».
De la forme cartésienne en polaire, et inversement
Pour le sens inverse, saisissez la forme polaire dans le champ de forme polaire : la forme algébrique affiche a + bi, avec a = r cos θ et b = r sin θ. Toutes ces écritures sont lues :
5∠0.9273et5@0.92735 cis 0.9273- forme exponentielle :
5e^(i*0.9273)ou2e^(i pi/3) - π ou pi dans l’angle :
5∠pi/4donne 3,535534 + 3,535534i
Un angle saisi sans unité suit le choix fait pour l’unité d’angle. Écrivez °, deg ou rad après l’angle pour imposer l’unité : 5∠0.9273 rad fonctionne même quand les degrés sont sélectionnés.
Choisissez l’unité avant de saisir l’angle. Si vous passez ensuite de radians à degrés, le nombre déjà saisi est converti au lieu d’être relu : 2∠60 saisi en radians puis basculé en degrés devient 2∠-162.253229°, et non 60°. Les résultats sont affichés avec 6 décimales : 5∠0.9273 donne donc 2,999981 + 4,000014i, car 0,9273 est lui-même un angle arrondi. L’angle exact donne exactement 3 + 4i.
Écrire un calcul au lieu d’un seul nombre
Le champ de forme algébrique évalue les calculs simples sur les complexes ; vous pouvez donc convertir une expression sans la simplifier d’abord. Le champ garde ce que vous avez écrit ; la forme polaire et la carte de résultat affichent la réponse.
(1+i)^2donne 2i, module 2, argument 90°2(1+i)donne 2 + 2i, module 2√2 ≈ 2,828427, argument 45°(1+i)(1-i)donne 2, module 2, argument 0°sqrt(-4)donne 2ii^3donne -ie^(i*pi)donne -1
Les décimales peuvent s’écrire avec une virgule ou un point : 1,5 + 2i et 1.5 + 2i sont le même nombre.
Phaseurs et circuits en courant alternatif
Pour un phaseur, appuyez sur Degrés, puis saisissez l’amplitude et la phase dans la forme polaire. 10∠-90 devient -10i et 2∠60 devient 1 + 1,732051i. Dans l’autre sens, 3 + 4j se convertit en 5∠53.130102° : j se lit comme l’unité imaginaire, au même titre que i.
Ce que le convertisseur ne fait pas
- Un nombre à la fois : chaque champ contient une seule valeur, il n’y a ni liste ni traitement par lot.
- 6 décimales : les résultats sont arrondis à l’affichage. Le module n’apparaît en racine exacte que pour des entrées entières ou décimales courtes.
- Ni étapes ni graphique : il donne la réponse, pas une résolution détaillée, et ne dessine pas le nombre sur un schéma.
- Privé : les nombres que vous saisissez restent dans votre navigateur et ne sont envoyés nulle part.
Questions fréquentes
Comment convertir un nombre complexe en forme polaire ?
Saisissez-le dans le champ « Forme algébrique », par exemple 3 + 4i. Le champ « Forme polaire » se remplit pendant la saisie, et la carte de résultat donne le « Module r » et l’« Argument θ ». À la main, r = √(a² + b²) et θ = atan2(b, a), et la forme polaire s’écrit r∠θ.
Quelle est la forme polaire de 3 + 4i ?
Le module vaut √(3² + 4²) = 5 et l’argument vaut atan2(4, 3) ≈ 0,927295 radian, soit 53,130102°. Donc 3 + 4i = 5∠0,927295 en radians, ou 5∠53,130102° en degrés.
Comment trouver le module et l’argument d’un nombre complexe ?
Le module est la distance au zéro, r = √(a² + b²). L’argument est l’angle avec l’axe réel positif, θ = atan2(b, a). Saisissez le nombre dans le champ « Forme algébrique » : les lignes « Module r » et « Argument θ » donnent les deux valeurs, avec le module en racine exacte, comme √2, quand c’en est une.
Qu’est-ce que l’argument d’un nombre complexe ?
C’est l’angle que fait le nombre avec l’axe réel positif. Cette calculatrice affiche l’argument principal : supérieur à -π et au plus égal à π en radians, supérieur à -180° et au plus égal à 180° en degrés. Pour -1 + i, c’est 3π/4 (135°), et non -π/4.
Quel est l’argument de zéro ?
Zéro n’a pas d’argument, car il n’a pas de direction. Saisissez 0 : la ligne « Argument θ » affiche « Non défini pour 0 » et le module vaut 0.
Comment passer de la forme polaire à la forme algébrique ?
Saisissez la forme polaire dans le champ « Forme polaire », par exemple 2∠60 avec les degrés sélectionnés. Le champ « Forme algébrique » se remplit sous la forme a + bi, ici 1 + 1,732051i. À la main, a = r cos θ et b = r sin θ.
Comment écrire un nombre complexe sous forme exponentielle ?
La forme exponentielle s’écrit r·e^(iθ), avec les mêmes r et θ que la forme polaire. Pour 1 + i, cela donne √2·e^(iπ/4). La calculatrice accepte la forme exponentielle en saisie, par exemple 2e^(i pi/3) dans le champ « Forme polaire », mais affiche le résultat sous la forme r∠θ.
Est-ce utilisable pour les phaseurs et les circuits en courant alternatif ?
Oui. Sélectionnez « Degrés » et saisissez un phaseur comme 10∠-90 dans le champ « Forme polaire » pour obtenir -10i, ou saisissez 3 + 4j pour obtenir 5∠53,130102°. L’unité imaginaire peut s’écrire i ou j.
Les étapes du calcul sont-elles affichées ?
Non. L’outil affiche la réponse, le module et l’argument, mais pas une résolution détaillée. Les formules figurent sur cette page : vous pouvez comparer votre propre calcul au résultat.
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