Nombre décimal périodique en fraction
Ce calculateur transforme un nombre décimal périodique en fraction : 0,1666… ou 1,272727… deviennent une fraction exacte et irréductible, et le calcul s'affiche en dessous. Placez entre crochets les chiffres qui se répètent : 0,1[6] donne 1/6 et 1,[27] donne 14/11. Il calcule avec des nombres entiers et non en virgule flottante, donc même une longue période reste exacte. Tout se passe dans votre navigateur, rien n'est envoyé ni enregistré.
Convertir un décimal périodique en fraction : mode d'emploi
Le résultat se met à jour à chaque frappe, il n'y a pas de bouton de conversion.
- Saisissez le nombre dans le champ Nombre décimal. Pour la virgule, un point ou une virgule fonctionnent.
- Placez entre crochets les chiffres qui se répètent, juste après la virgule et après les chiffres qui ne se répètent pas :
0,1[6]signifie 0,1666…, seul le 6 se répète. - Lisez la réponse sous Fraction simplifiée, affichée en hauteur puis sur une seule ligne. Un signe moins devant le nombre passe à la fraction.
- Le bouton Copier la fraction la copie en texte brut, par exemple
1/6, prête à coller. - Sous Étapes, vous voyez le calcul qui a permis de trouver la fraction.
Les parenthèses fonctionnent aussi : 0,1(6) est lu comme 0,1[6]. La saisie peut compter jusqu'à 50 caractères.
Comment transformer un décimal périodique en fraction : les crochets
Les crochets indiquent exactement quels chiffres se répètent, c'est pourquoi un même début de nombre peut donner des réponses différentes : 0,[27] répète 27, tandis que 0,2[7] ne répète que le 7. Une seule paire de crochets est admise, et elle doit se trouver après la virgule.
0,[3]est 0,333… et donne 1/30,1[6]est 0,1666… et donne 1/60,[142857]est 0,142857142857… et donne 1/71,[27]est 1,272727… et donne 14/11-0,[3]est −0,333… et donne −1/30,75ne se répète pas et donne 3/45est un nombre entier et donne 5/1
Le calculateur refuse un séparateur de milliers comme dans 1,000.5, un second point décimal et des crochets sans virgule avant eux, et vous indique le format attendu. Le trait au-dessus, les points et la notation avec « … » ne sont pas lus : réécrivez-les avec des crochets.
Convertir un nombre décimal périodique en fraction : le calcul
L'astuce consiste à fabriquer deux copies du nombre qui ont la même queue infinie, puis à les soustraire pour que cette queue disparaisse. Voici le calcul affiché sous Étapes pour 0,1[6] :
- x = 0,1666…
- 100x = 16,666… (on avance après le 1 et une période entière)
- 10x = 1,666… (on avance seulement après le 1)
- On soustrait : 90x = 15
- On divise les deux côtés par 90 : x = 15/90
- On divise le haut et le bas par 15 : x = 1/6
En général, s'il y a n chiffres après la virgule avant la période et r chiffres qui se répètent, on soustrait 10^n · x de 10^(n+r) · x. Le nombre par lequel on divise est 10^(n+r) − 10^n : un seul chiffre périodique donne un dénominateur fait de 9, une période de deux chiffres un dénominateur fait de 99.
Nombre périodique en fraction : valeurs courantes
Voici des valeurs qu'on demande souvent. À droite figure ce qu'il faut saisir.
- 0,111… =
0,[1]= 1/9 - 0,666… =
0,[6]= 2/3 - 0,0909… =
0,[09]= 1/11 - 0,2727… =
0,[27]= 3/11 - 0,0833… =
0,08[3]= 1/12 - 0,8333… =
0,8[3]= 5/6 - 0,12333… =
0,12[3]= 37/300 - 0,999… =
0,[9]= 1/1
Pourquoi 0,9 périodique est égal à 1
Saisissez 0,[9] et le calculateur renvoie 1/1. Les étapes montrent pourquoi : 10x = 9,999… et x = 0,999…, donc 9x = 9 et x = 1. Il n'existe aucun nombre entre 0,999… et 1, ce sont donc le même nombre écrit de deux façons.
Décimaux finis, nombres négatifs et nombres mixtes
Un nombre décimal sans crochets est traité comme un décimal fini : 0,75 s'écrit sur 100, soit 75/100, puis se réduit en 3/4. Un nombre entier est renvoyé sur 1. Un signe moins ou plus au début est accepté.
La réponse est toujours une fraction impropre irréductible. Pour obtenir un nombre mixte à partir de 14/11, faites la division : 11 va une fois dans 14 et il reste 3, soit 1 3/11.
Questions fréquentes
Comment transformer un décimal périodique en fraction ?
Notez x le nombre, multipliez x par une puissance de 10 pour que les chiffres répétés s'alignent avec une seconde copie, soustrayez les deux lignes pour que la queue infinie s'annule, puis divisez pour isoler x et simplifiez. Pour 0,1666…, cela donne 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, donc 90x = 15 et x = 1/6. Le calculateur le fait pendant que vous saisissez et affiche chaque ligne sous « Étapes ».
Comment convertir un nombre décimal périodique en fraction sans calculatrice ?
Écrivez x = le nombre. S'il y a n chiffres après la virgule avant la période et r chiffres qui se répètent, soustrayez 10^n · x de 10^(n+r) · x. La queue s'annule et il reste un nombre entier égal à (10^(n+r) − 10^n) · x. Divisez les deux côtés par ce nombre, puis le haut et le bas de la fraction par leur plus grand diviseur commun. La liste « Étapes » montre le même calcul pour votre nombre, pour vérifier le vôtre.
Qu'est-ce que la fraction génératrice d'un nombre périodique ?
C'est la fraction irréductible qui vaut exactement ce nombre. Placez les chiffres qui se répètent entre crochets après la virgule, par exemple 0,[3] pour 0,333… ou 1,[27] pour 1,272727…, et le calculateur renvoie 1/3 et 14/11.
Quelle est la fraction de 0,1666… avec le 6 qui se répète ?
1/6. Saisissez 0,1[6], car seul le 6 se répète : 100x = 16,666…, 10x = 1,666…, la différence donne 90x = 15, donc x = 15/90, qui se réduit en 1/6. Si c'est tout le bloc 1666 qui se répète, saisissez plutôt 0,[1666] pour obtenir 1666/9999.
Quelle est la fraction de 0,333… périodique ?
1/3. Saisissez 0,[3]. En soustrayant x de 10x, on obtient 9x = 3, donc x = 3/9 = 1/3. De même, 0,[6] vaut 2/3 et 0,[1] vaut 1/9.
Quelle fraction est égale à 0,9 périodique ?
0,9 périodique vaut exactement 1, le calculateur affiche donc 1/1. En soustrayant x de 10x, on obtient 9x = 9, donc x = 1. Les deux nombres ne sont pas seulement très proches : aucun nombre ne se trouve entre eux, ils sont donc un seul et même nombre écrit de deux façons.
Quelle est la différence entre 0,[27] et 0,2[7] ?
Cela dépend de ce qui se répète. Si les deux chiffres se répètent (0,272727…), saisissez 0,[27] pour obtenir 3/11. Si seul le 7 se répète (0,2777…), saisissez 0,2[7] pour obtenir 5/18. Les crochets indiquent au calculateur quels chiffres se répètent.
Comment écrire un décimal périodique sous forme de nombre mixte ?
Le calculateur affiche toujours une fraction impropre irréductible et n'a pas de sortie en nombre mixte. Pour en obtenir un, divisez le numérateur par le dénominateur : le quotient est la partie entière et le reste devient le nouveau numérateur. Pour 1,[27], la réponse est 14/11, et 14 divisé par 11 donne 1 reste 3, soit 1 3/11.
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