Factoriser un trinôme du second degré, étape par étape
Ce calculateur de factorisation transforme Ax² + Bx + C en un produit de parenthèses et montre chaque étape de la méthode AC. Vous pouvez ainsi vérifier un devoir ou repérer l'endroit où votre propre calcul a dérapé. Il met en facteur un facteur commun, gère un A négatif, reconnaît les carrés parfaits et la différence de deux carrés, et indique clairement quand un trinôme est irréductible. Il fonctionne dans votre navigateur et rien n'est envoyé.
Comment factoriser un trinôme avec ce calculateur
Pour factoriser un trinôme du second degré, procédez ainsi :
- Saisissez le nombre placé devant x² dans la case A. Elle démarre à 1, et un A vide compte pour 1.
- Saisissez le nombre placé devant x dans B et le nombre seul dans C. Un B ou un C vide compte pour 0.
- Pour un nombre négatif, tapez un signe moins ou sélectionnez ± sous la case pour changer son signe. Les pavés numériques des téléphones n'ont souvent pas de touche moins, c'est à cela que sert le bouton.
- Sélectionnez Factoriser.
- Lisez la Forme factorisée en gros caractères, puis parcourez les Étapes numérotées.
Pour 2x² + 2x − 24, saisissez A = 2, B = 2 et C = −24. Modifier une case efface le résultat : sélectionnez donc de nouveau le bouton après une correction. Seuls les nombres entiers compris entre −1 000 000 et 1 000 000 sont acceptés, et A ne peut pas être 0, car il ne resterait plus de terme en x².
Factorisation en ligne : la méthode AC pas à pas
La méthode AC factorise Ax² + Bx + C même quand A n'est pas égal à 1, c'est-à-dire là où le tâtonnement ne suffit plus. Le calculateur la suit toujours dans le même ordre : mettre en facteur le plus grand facteur commun, multiplier le premier et le dernier nombre, trouver deux nombres entiers dont le produit est celui-ci et la somme B, décomposer le terme du milieu, regrouper deux par deux, puis mettre en facteur la parenthèse commune. Voici son travail pour 2x² + 5x + 3, qui donne (x + 1)(2x + 3) :
- Partez de 2x² + 5x + 3.
- Les trois nombres n'ont pas de facteur commun, il n'y a donc rien à mettre en facteur d'abord.
- Multipliez le premier et le dernier nombre : 2 × 3 = 6.
- Trouvez deux nombres entiers dont le produit est 6 et la somme 5. Ce sont 2 et 3, car 2 × 3 = 6 et 2 + 3 = 5.
- Décomposez le terme du milieu avec ces deux nombres : 2x² + 2x + 3x + 3.
- Regroupez les termes deux par deux et mettez en facteur le facteur commun de chaque paire : (2x² + 2x) + (3x + 3) = 2x(x + 1) + 3(x + 1).
- Les deux paires contiennent maintenant (x + 1), mettez-le en facteur : (x + 1)(2x + 3).
Les parenthèses sont classées avec le plus petit coefficient de x en premier : vous pouvez donc voir (x + 1)(2x + 3) là où un manuel écrit (2x + 3)(x + 1). Le produit est le même.
Factoriser avec un facteur commun
Quand A, B et C ont un facteur en commun, l'étape 2 le met en facteur en premier. Pour 2x² + 2x − 24, elle indique : Mettez en facteur le plus grand facteur commun, 2 : 2(x² + x − 12). Les étapes suivantes factorisent x² + x − 12 en (x − 3)(x + 4), et la dernière indique : Remettez le facteur 2 devant : 2(x − 3)(x + 4).
Si A est négatif, le facteur est mis avec son signe pour que le terme en x² à l'intérieur soit positif : −x² + 5x − 6 devient −(x − 3)(x − 2).
Identité remarquable à factoriser : les cas particuliers
Aucun de ces cas ne demande un autre mode. Ce sont les mêmes étapes, et la réponse fait apparaître la forme :
- A, B, C = 1, 6, 9 donne (x + 3)². Carré parfait : les deux parenthèses sont identiques, la dernière étape les écrit donc sous forme de carré.
- 1, 0, −9 donne (x − 3)(x + 3). Différence de deux carrés : le couple est −3 et 3, et les termes du milieu s'annulent.
- 3, 6, 0 donne 3x(x + 2). C vaut 0, donc x est un facteur commun en plus de 3.
- 4, 0, 0 donne 4x². Il n'y a qu'un terme en x² : une fois le 4 sorti, rien ne peut être factorisé de plus.
- −1, 5, −6 donne −(x − 3)(x − 2). A négatif : on met d'abord −1 en facteur.
- 1, 1, 1 donne Irréductible, car aucun couple de nombres entiers ne convient.
- 2, 2, 2 donne 2(x² + x + 1). Le 2 sort, et la partie entre parenthèses est irréductible.
Quand un polynôme du second degré est irréductible
Le calculateur affiche Irréductible quand aucun couple de nombres entiers n'a pour produit A × C et pour somme B (une fois le facteur commun sorti). Le trinôme ne peut alors pas s'écrire en parenthèses avec des nombres entiers. Si un facteur commun est sorti avant, vous obtenez ce facteur devant la partie irréductible, avec une note sous la réponse.
Un contrôle rapide que vous pouvez faire vous-même : des parenthèses à coefficients entiers n'existent que si B² − 4AC est un carré parfait (0, 1, 4, 9, 16, etc.). Pour x² + x + 1, il vaut −3 : le trinôme est donc irréductible. Pour x² − 2, il vaut 8, qui n'est pas un carré parfait : celui-là est irréductible aussi.
Ce que ce calculateur ne fait pas
Il factorise, c'est tout : il ne résout pas pour x et ne trace pas la parabole. Les décimaux et les fractions sont refusés avec un message, ramenez-les donc d'abord à des nombres entiers. Quand il vous faut les racines, annulez chaque parenthèse à la main.
Questions fréquentes
Comment factoriser un trinôme du second degré quand a n'est pas égal à 1 ?
Utilisez la méthode AC. Multipliez A par C, trouvez deux nombres entiers dont le produit est celui-ci et la somme B, décomposez le terme du milieu avec ces deux nombres, regroupez deux par deux et mettez en facteur la parenthèse commune. Pour 2x² + 5x + 3, A × C vaut 6, les nombres sont 2 et 3, et le résultat est (x + 1)(2x + 3). Saisissez 2, 5 et 3 dans A, B et C et le calculateur affiche chacune de ces étapes.
Qu'est-ce que la méthode AC pour factoriser ?
La méthode AC sert à factoriser Ax² + Bx + C quand A n'est pas égal à 1. Vous multipliez A par C, cherchez deux nombres entiers de produit AC et de somme B, puis cette paire sert à couper le terme du milieu en deux. Les quatre termes se factorisent alors par regroupement. Elle marche aussi quand A vaut 1, c'est pourquoi le calculateur suit les mêmes étapes pour tous les trinômes.
Comment factoriser un trinôme avec un facteur commun ?
Mettez d'abord en facteur le plus grand facteur commun de A, B et C, factorisez ce qui reste, puis remettez le facteur commun devant. Pour 2x² + 2x − 24, la liste des Étapes commence par 2(x² + x − 12) et se termine par 2(x − 3)(x + 4). Si les trois nombres n'ont rien en commun, le calculateur indique qu'il n'y a rien à mettre en facteur d'abord.
Comment factoriser un trinôme dont le coefficient dominant est négatif ?
Mettez d'abord −1 (ou un facteur commun négatif) en facteur, pour que le terme en x² à l'intérieur soit positif. Sélectionnez ± à côté de A pour le rendre négatif, puis sélectionnez « Factoriser ». Pour −x² + 5x − 6, la réponse est −(x − 3)(x − 2), et la liste des Étapes montre le −1 sorti au début puis remis devant à la fin.
Peut-on factoriser tous les trinômes ?
Pas en parenthèses à coefficients entiers. Des trinômes comme x² + x + 1 ou x² − 2 n'ont pas de facteurs entiers, et le calculateur les signale comme « Irréductible ». Leurs racines sont irrationnelles ou complexes, elles ne peuvent donc pas s'écrire sous forme de parenthèses à coefficients entiers.
Comment savoir si un trinôme est irréductible ?
Sortez le facteur commun, puis cherchez deux nombres entiers dont le produit est A × C et la somme B. S'il n'en existe aucun, le trinôme est irréductible. Le même test se fait avec le discriminant : B² − 4AC doit être un carré parfait pour qu'il existe des facteurs entiers. Pour x² + x + 1, aucun couple n'a pour produit 1 et pour somme 1, et B² − 4AC vaut −3 : il est irréductible.
Comment factoriser une différence de deux carrés ?
Une différence de deux carrés comme x² − 9 se factorise en (x − 3)(x + 3). Saisissez A = 1, laissez B vide et saisissez C = −9. Le calculateur arrive à la réponse par les étapes habituelles : A × C vaut −9, le couple est −3 et 3, et la décomposition est x² − 3x + 3x − 9. Des expressions comme 4x² − 25 fonctionnent de la même façon.
Comment factoriser un carré parfait ?
Un trinôme carré parfait comme x² + 6x + 9 se factorise en deux parenthèses identiques, écrites (x + 3)². Saisissez 1, 6 et 9. Le calculateur trouve le couple 3 et 3, met en facteur la parenthèse commune pour obtenir (x + 3)(x + 3), puis ajoute une dernière étape qui écrit les parenthèses identiques sous forme de carré.
Ce calculateur peut-il résoudre une équation du second degré ou trouver les racines ?
Non. Il factorise Ax² + Bx + C en parenthèses et montre les étapes, mais il ne résout pas pour x et ne trace pas de graphique. Une fois les parenthèses obtenues, vous pouvez finir à la main : annulez chaque parenthèse. À partir de 2(x − 3)(x + 4), cela donne x = 3 et x = −4.
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