Équation de la tangente en un point : pente et droite
Ce calculateur de tangente donne l’équation de la tangente en un point : vous saisissez une fonction et une valeur de x, et il affiche la pente en ce point ainsi que la droite sous la forme y = mx + b. Il montre aussi la dérivée, simplifiée et mise en forme comme dans un manuel. Il n’affiche que le résultat, sans les étapes, et fonctionne dans votre navigateur, sans inscription.
Comment trouver l’équation de la tangente
Pour trouver la tangente en un point, procédez ainsi :
- Saisissez la fonction dans le champ Fonction, par exemple
x^2 + 2x. - Saisissez le point dans Valeur de x (facultatif), par exemple
3. - Lisez la pente sur la carte de la pente et l’équation sur la carte Tangente.
Dans l’exemple, la dérivée est 2x + 2, la pente en x = 3 vaut 8 et la tangente est y = 8x − 9.
Les résultats se mettent à jour environ un dixième de seconde après la dernière frappe. Tant qu’une expression est incomplète, le calculateur garde le dernier résultat et l’atténue au bout d’une seconde. Laissez la valeur de x vide pour voir uniquement la dérivée.
Pente de la tangente et nombre dérivé : le calcul
La pente d’une fonction en un point est la valeur de sa dérivée en ce point, c’est le nombre dérivé : m = f'(a). La tangente passe par le point (a, f(a)) avec cette pente, donc son ordonnée à l’origine est b = f(a) − m·a.
Pour x^2 + 2x en 3, la dérivée est 2x + 2, donc m = 8. La valeur de la fonction est f(3) = 15, donc b = 15 − 8·3 = −9 et la tangente est y = 8x − 9. La droite s’écrit comme dans un manuel : sans 1x, sans + 0, et simplement y = b quand la pente est nulle.
Calculer la pente en un point : autres exemples
Racines, logarithmes et exponentielles :
sqrt(x)en 4 : pente 0,25, tangentey = 0.25x + 1ln(x)en 1 : pente 1, tangentey = x − 1e^xen 0 : pente 1, tangentey = x + 1
Une tangente horizontale apparaît par exemple avec sin(x) en pi/2 : la pente est 0 et la tangente est y = 1.
La valeur de x peut être un nombre ou une expression constante comme pi/2. Les fractions et les symboles exacts restent exacts dans la dérivée, par exemple 1/(3x^(2/3)) pour cbrt(x). Si vous saisissez un décimal comme 0.5x^2, la dérivée garde des décimaux. La pente et la tangente s’affichent avec 8 chiffres significatifs.
Comment saisir une fonction
Écrivez les puissances sous la forme x^2, les produits sous la forme 3x ou 2*x, et les fonctions comme sin(x), sqrt(x), e^x et ln(x). Mettez des parenthèses après le nom d’une fonction, comme dans sin(2x).
x^2,x^(1/3): puissances, y compris fractionnaires et négatives3x,2*x,x(x+1): multiplication, écrite ou sous-entenduepi,e: les constantes pi et le nombre d’Eulerln(x),log(x),log10(x),log2(x): logarithmessqrt(x),cbrt(x),abs(x),exp(x): racines, valeur absolue, e puissance x
Les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan et les autres, avec leurs réciproques) et hyperboliques (sinh, cosh, tanh et les autres) sont prises en charge. floor, ceil, round, gamma et erf ne le sont pas.
Radians ou degrés
Ouvrez Paramètres et choisissez Radians (par défaut) ou Degrés sous Angles en trigonométrie. En degrés, sin(x) désigne le sinus de x degrés, les fonctions trigonométriques réciproques renvoient des degrés et la valeur de x est lue en degrés elle aussi. Comme un degré vaut pi/180 radian, la dérivée porte un facteur pi/180, et une note sous le résultat le signale.
Exemple en degrés : fonction sin(x), valeur de x 0, pente 0,017453293 (c’est pi/180) et tangente y = 0.017453293x.
Quand il n’y a pas de pente, et ce que l’outil ne fait pas
Quand une fonction n’a pas de pente unique, la carte affiche « non définie en ce point (pas de pente unique ici) ». C’est le cas de sqrt(x) en 0 (la tangente est verticale), de abs(x) en 0 (un point anguleux), de 1/x en 0, de ln(x) en un nombre négatif et de tan(x) en pi/2. Si la fonction utilise une autre lettre, comme dans a*x, la carte affiche « Calcul impossible : a n’a pas de valeur » tant que vous ne remplacez pas la lettre par un nombre.
L’outil calcule la dérivée première d’une fonction de x et la tangente en un seul point, et n’affiche que le résultat. Il ne donne pas les étapes et ne traite ni les courbes implicites, paramétriques ou polaires, ni les dérivées partielles ou d’ordre supérieur, ni la dérivation par rapport à une lettre autre que x. Pour cela, ou pour une dérivée qui ne dépend pas d’un point, utilisez le Calculateur de dérivées.
Questions fréquentes
Comment trouver l’équation de la tangente en un point ?
Saisissez la fonction dans le champ « Fonction » et le point dans « Valeur de x (facultatif) ». La carte « Tangente » affiche alors la droite sous la forme y = mx + b. Pour x^2 + 2x en x = 3, la pente vaut 8 et la carte affiche y = 8x − 9. À la main, la pente m est la dérivée au point et b vaut f(a) − m·a, où a est la valeur de x.
Comment calculer le coefficient directeur de la tangente ?
Saisissez la fonction et la valeur de x. La carte de la pente donne la valeur de la dérivée en ce point, avec 8 chiffres significatifs. La valeur de x peut être un nombre ou une expression constante comme pi/2. Pour sqrt(x) en 4, la pente vaut 0,25.
Comment calculer le nombre dérivé en un point ?
Saisissez la fonction et la valeur de x : la carte de la pente affiche le nombre dérivé en ce point, c’est-à-dire la pente de la tangente. Laissez la valeur de x vide pour obtenir seulement la fonction dérivée.
Quelle est la dérivée de sin x en degrés ?
Si x est mesuré en degrés, la dérivée de sin(x) est (π/180)·cos(x), car un degré vaut π/180 radian. Ouvrez « Paramètres », réglez « Angles en trigonométrie » sur « Degrés », et le calculateur applique ce facteur pour vous : sin(x) en x = 0 donne une pente de 0,017453293.
Le calculateur de tangente affiche-t-il les étapes ?
Non. Il affiche la fonction telle qu’il l’a lue, la dérivée simplifiée, la pente au point et la tangente, mais pas le détail du calcul. L’exemple détaillé de cette page montre comment la pente et l’ordonnée à l’origine sont trouvées, pour que vous puissiez vérifier chaque nombre à la main.
Peut-il trouver la tangente à une courbe paramétrique, polaire ou implicite ?
Non. Il traite une fonction écrite sous la forme y en fonction de x et dérive uniquement par rapport à x. Les courbes paramétriques, polaires et implicites, les dérivées partielles et les dérivées secondes ne sont pas prises en charge.
Puis-je l’utiliser pour l’approximation affine ?
Oui, pour la droite elle-même. La tangente y = mx + b est l’approximation affine de la fonction près de votre valeur de x : vous la lisez et vous remplacez vous-même par un x voisin. Le calculateur n’évalue pas l’approximation en un second point et ne donne pas l’erreur.
Que signifie « non définie en ce point (pas de pente unique ici) » ?
La fonction n’a pas de pente de tangente unique pour cette valeur de x. C’est le cas d’un point anguleux comme abs(x) en 0, d’une tangente verticale comme sqrt(x) en 0, d’une fonction qui diverge comme 1/x en 0, hors du domaine comme ln(x) en un nombre négatif, et de tan(x) en pi/2.
Le calculateur envoie-t-il ma fonction à un serveur ?
Non. La fonction est lue et dérivée dans votre navigateur : rien de ce que vous saisissez n’est envoyé ailleurs, et il n’y a ni compte ni inscription.
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