Einheitskreis interaktiv: sin, cos und tan sehen
Ziehe den blauen Punkt um den Einheitskreis und sieh, wie sich sin, cos und tan mit dem Winkel ändern. Jeder Wert erscheint als farbige Strecke, du erkennst also, woher er kommt, statt eine Tabelle auswendig zu lernen. Der Einheitskreis online läuft im Browser, ohne Upload und ohne Konto.
Einheitskreis online benutzen
- Ziehe den blauen Punkt mit der Maus oder dem Finger um den Kreis. Er rastet auf ganze Grad ein, 90° und 270° triffst du also genau. Die Anzeige oben (am Anfang θ 45°) folgt dem Punkt.
- Oder gib den Winkel in das Feld „Winkel“ ein. Erlaubt sind 0 bis 360 in Grad und 0 bis 6,2832 im Bogenmaß; liegst du außerhalb, erscheint ein Hinweis.
- Für feine Schritte setzt du den Fokus auf den Punkt: Die Pfeiltasten bewegen ihn um 1 Grad, Bild auf und Bild ab um 15 Grad, Pos1 setzt ihn auf 0 zurück.
- Lies die Karten ab: sin θ, cos θ und tan θ aktualisieren sich bei jeder Position, auf 4 Nachkommastellen.
Sinus am Einheitskreis ablesen
Der Kreis hat den Radius 1. Der Punkt bei Winkel θ, gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen (der kleine Bogen), liegt bei (cos θ, sin θ). Jede Funktion gehört zu einer Strecke und einer Karte.
- sin θ (orange): die senkrechte Strecke von der x-Achse hoch zum Punkt. Ihre Länge ist die Höhe (y) des Punkts.
- cos θ (grün): die waagerechte Strecke auf der x-Achse vom Mittelpunkt aus. Ihre Länge ist die Breite (x) des Punkts.
- tan θ (violett): die senkrechte Strecke auf der Geraden x = 1, der Tangente. Ein gestrichelter Strahl vom Mittelpunkt durch den Punkt trifft sie; tan θ ist die Höhe, auf der der Strahl landet, daher gilt tan θ = sin ÷ cos.
Zeigt eine Strecke auf die „falsche“ Seite einer Achse, ist der Wert negativ: Die cos-Strecke zeigt im zweiten und dritten Quadranten nach links, die sin-Strecke im dritten und vierten nach unten.
Einheitskreis Werte bei bekannten Winkeln
Das sind die Zahlen, die die Karten bei einigen vertrauten Winkeln zeigen. Ziehe den Punkt hin und prüfe sie. Für eine kleine Einheitskreis Tabelle reichen diese sieben Zeilen:
- 0°: sin 0,0000 · cos 1,0000 · tan 0,0000
- 30°: sin 0,5000 · cos 0,8660 · tan 0,5774
- 45°: sin 0,7071 · cos 0,7071 · tan 1,0000
- 60°: sin 0,8660 · cos 0,5000 · tan 1,7321
- 90°: sin 1,0000 · cos 0,0000 · tan nicht definiert
- 120°: sin 0,8660 · cos -0,5000 · tan -1,7321
- 210°: sin -0,5000 · cos -0,8660 · tan 0,5774
Einheitskreis Tangens: warum bei 90° und 270° nichts definiert ist
Bei 90° und 270° liegt der Punkt genau über oder unter dem Mittelpunkt. Dann ist cos θ gleich 0, und die Division sin ÷ cos hat kein Ergebnis. Der gestrichelte Strahl erreicht die Gerade x = 1 nie, die violette Strecke verschwindet, und die Karte zeigt „Nicht definiert“.
Dasselbe passiert mit sec θ bei diesen zwei Winkeln. Bei csc θ und cot θ ist es sin θ, das 0 ist: bei 0°, 180° und 360°.
Einheitskreis Winkel in Grad oder Bogenmaß
Mit dem Schalter „Einheit“ wechselst du die Anzeige und das Feld „Winkel“ zwischen „Grad“ und „Bogenmaß“. Das Bogenmaß erscheint als Dezimalzahl: 90° sind 1,5708 rad, 180° sind 3,1416 rad und eine volle Drehung ist 6,2832 rad. Zeichnung und Werte bleiben gleich, nur die Schreibweise des Winkels ändert sich.
Sekans, Kosekans und Kotangens
Mit der Option Sekans, Kosekans und Kotangens anzeigen kommen die drei Kehrwertfunktionen dazu: sec θ (1 ÷ cos), csc θ (1 ÷ sin) und cot θ (cos ÷ sin). In der Zeichnung ist sec eine karmesinrote Strecke auf der x-Achse, csc eine türkise Strecke auf der y-Achse und cot eine bernsteinfarbene Strecke auf der Geraden y = 1, dazu eine gestrichelte Tangente an den Kreis im Punkt.
Die Sinuskurve als Graph siehst du, wenn du y = sin(x) im Grafikrechner zeichnest. Für die Steigung von sin und cos hilft der Ableitungsrechner, für Kreismaße außerhalb der Trigonometrie der Kreisflächen-Rechner.
Häufige Fragen
Wie funktioniert der Tangens am Einheitskreis?
Der Tangens ist sin ÷ cos, und am Kreis ist er eine Länge, die du sehen kannst. Zeichne einen Strahl vom Mittelpunkt durch den Punkt und verlängere ihn bis zur senkrechten Geraden x = 1: Die Höhe, auf der er landet, ist tan θ. Die violette Strecke zeigt genau das. Bei 45° landet er auf Höhe 1, also ist tan 45° gleich 1,0000.
Warum ist tan 90 nicht definiert?
Bei 90° liegt der Punkt genau über dem Mittelpunkt, also ist cos θ gleich 0, und tan θ = sin ÷ cos würde 1 durch 0 teilen. Geometrisch verläuft der Strahl durch Mittelpunkt und Punkt parallel zur Geraden x = 1 und trifft sie nie, es gibt also keine tan-Strecke. Ziehe auf 90° oder 270°, dann steht bei tan θ „Nicht definiert“, und die violette Strecke verschwindet.
Warum ist cos 90 gleich null?
cos θ ist die waagerechte Position (x) des Punkts. Bei 90° liegt der Punkt genau über dem Mittelpunkt, seine x-Position ist 0, und die grüne cos-Strecke schrumpft auf nichts. Die Karte zeigt 0,0000, und sin θ ist 1,0000, weil der Punkt auf voller Höhe steht.
Was sind Sekans, Kosekans und Kotangens?
Es sind die Kehrwerte der drei Hauptfunktionen: sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ und cot θ = cos ÷ sin. Mit der Option „Sekans, Kosekans und Kotangens anzeigen“ kommen ihre Karten und Strecken in die Zeichnung. sec ist bei 90° und 270° nicht definiert, csc und cot bei 0°, 180° und 360°.
Wie lese ich sin und cos am Einheitskreis ab?
Lies sie an den Koordinaten des Punkts ab. Der Punkt bei Winkel θ ist (cos θ, sin θ): cos θ sagt, wie weit er rechts oder links vom Mittelpunkt liegt, sin θ, wie weit über oder unter der x-Achse. Bei 30° zeigen die Karten sin 0,5000 und cos 0,8660. Links vom Mittelpunkt und unter der Achse werden die Werte negativ, wie bei 210°, wo beide negativ sind.
Kann ich Bogenmaß statt Grad verwenden?
Ja. Stelle den Schalter „Einheit“ von „Grad“ auf „Bogenmaß“, dann nutzen die θ-Anzeige und das Feld „Winkel“ das Bogenmaß von 0 bis 6,2832. Es erscheint als Dezimalzahl statt als Vielfaches von π: 90° stehen dann als 1,5708 rad da und 180° als 3,1416 rad.
Was ist ein Einheitskreis einfach erklärt?
Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Mittelpunkt des Koordinatensystems. Ein Punkt darauf hat die Koordinaten (cos θ, sin θ), wobei θ der Winkel von der positiven x-Achse ist. So werden sin, cos und tan zu Strecken, die du direkt in der Zeichnung siehst.
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