Đường tròn đơn vị: kéo điểm để xem sin, cos, tan
Kéo điểm xanh quanh đường tròn đơn vị và xem sin, cos, tan thay đổi theo góc. Mỗi giá trị được vẽ thành một đoạn màu, nên bạn thấy nó đến từ đâu thay vì học thuộc bảng. Mọi thứ chạy ngay trên trình duyệt của bạn, không cần tải tệp lên và không cần tài khoản.
Cách dùng đường tròn đơn vị
- Kéo điểm xanh quanh đường tròn bằng chuột hoặc ngón tay. Điểm nhảy theo từng độ nguyên, nên bạn dừng đúng ở 90° và 270°. Số hiển thị phía trên (lúc đầu là θ 45°) đi theo điểm.
- Hoặc nhập góc vào ô "Góc". Ô này nhận từ 0 đến 360 độ và từ 0 đến 6,2832 radian; nếu vượt phạm vi, một gợi ý sẽ hiện ra.
- Để nhích từng bước nhỏ, hãy chọn điểm rồi dùng phím mũi tên (1 độ), Page Up hoặc Page Down (15 độ), còn Home đưa về 0.
- Xem bảng giá trị: các thẻ sin θ, cos θ và tan θ cập nhật ở mọi vị trí, đến 4 chữ số thập phân.
Đường tròn lượng giác: ý nghĩa các đoạn màu
Đường tròn có bán kính 1, nên điểm ứng với góc θ, đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục x dương (cung nhỏ), nằm tại (cos θ, sin θ). Mỗi hàm tương ứng với một đoạn và một thẻ.
- sin θ (cam): đoạn thẳng đứng từ trục x lên đến điểm. Độ dài là chiều cao (y) của điểm.
- cos θ (xanh lá): đoạn nằm ngang trên trục x tính từ tâm. Độ dài là chiều rộng (x) của điểm.
- tan θ (tím): đoạn thẳng đứng trên đường thẳng x = 1, tức tiếp tuyến. Tia nét đứt đi từ tâm qua điểm chạm tới đường này, và tan θ là độ cao nơi tia chạm, vì vậy tan θ = sin ÷ cos.
Đoạn nằm ở phía "ngược" của một trục nghĩa là giá trị âm: đoạn cos hướng sang trái ở góc phần tư thứ hai và thứ ba, đoạn sin hướng xuống ở góc phần tư thứ ba và thứ tư.
Đường tròn đơn vị là gì và giá trị ở các góc quen thuộc
Đường tròn đơn vị là đường tròn bán kính 1 có tâm ở gốc tọa độ. Dưới đây là các số mà thẻ hiển thị tại vài góc quen thuộc. Hãy kéo điểm tới từng góc để kiểm tra.
- 0°: sin 0,0000 · cos 1,0000 · tan 0,0000
- 30°: sin 0,5000 · cos 0,8660 · tan 0,5774
- 45°: sin 0,7071 · cos 0,7071 · tan 1,0000
- 60°: sin 0,8660 · cos 0,5000 · tan 1,7321
- 90°: sin 1,0000 · cos 0,0000 · tan không xác định
- 120°: sin 0,8660 · cos -0,5000 · tan -1,7321
- 210°: sin -0,5000 · cos -0,8660 · tan 0,5774
Vì sao tan không xác định tại 90° và 270°
Tại 90° và 270°, điểm nằm ngay trên hoặc ngay dưới tâm, nên cos θ bằng 0 và phép chia sin ÷ cos không có kết quả. Tia nét đứt không bao giờ chạm tới đường x = 1, đoạn tím biến mất và thẻ hiện "Không xác định".
sec θ cũng như vậy tại hai góc này. Với csc θ và cot θ, chính sin θ bằng 0 tại 0°, 180° và 360°.
Độ và radian
Dùng mục "Đơn vị" để đổi cách hiển thị và ô "Góc" giữa "Độ" và "Radian". Radian hiện dưới dạng số thập phân: 90° là 1,5708 rad, 180° là 3,1416 rad và một vòng đầy đủ là 6,2832 rad. Hình vẽ và các giá trị không đổi, chỉ cách viết góc thay đổi.
Secant, cosecant và cotangent
Chọn Hiển thị secant, cosecant và cotangent để thêm ba hàm nghịch đảo: sec θ (1 ÷ cos), csc θ (1 ÷ sin) và cot θ (cos ÷ sin). Trên hình, sec là đoạn đỏ thẫm trên trục x, csc là đoạn xanh ngọc trên trục y, cot là đoạn màu hổ phách dọc đường y = 1, cùng một tiếp tuyến nét đứt với đường tròn tại điểm.
Để xem cùng đường hình sin trên đồ thị, hãy vẽ y = sin(x) bằng Máy tính vẽ đồ thị. Muốn xem độ dốc của sin và cos, thử Máy tính đạo hàm. Với các phép đo đường tròn ngoài lượng giác, dùng Tính diện tích hình tròn.
Câu hỏi thường gặp
Tan hoạt động thế nào trên đường tròn đơn vị?
Tan là sin ÷ cos, và trên đường tròn nó là một độ dài bạn có thể thấy. Vẽ một tia từ tâm qua điểm rồi kéo dài tới đường thẳng đứng x = 1: độ cao nơi tia chạm chính là tan θ. Đoạn tím trên hình đúng là thế. Tại 45° tia chạm ở độ cao 1, nên tan 45° bằng 1,0000.
Vì sao tan 90 không xác định?
Tại 90° điểm nằm ngay trên tâm, nên cos θ bằng 0 và tan θ = sin ÷ cos sẽ là 1 chia cho 0. Về hình học, tia đi qua tâm và điểm song song với đường x = 1 và không bao giờ cắt nó, nên không có đoạn tan nào để vẽ. Hãy kéo tới 90° hoặc 270°: tan θ hiện "Không xác định" còn đoạn tím biến mất.
Vì sao cos 90 bằng không?
cos θ là vị trí ngang (x) của điểm. Tại 90° điểm nằm ngay trên tâm, vị trí x bằng 0 và đoạn cos màu xanh lá co lại thành không. Thẻ hiện 0,0000, còn sin θ bằng 1,0000 vì điểm ở độ cao tối đa.
Secant, cosecant và cotangent là gì?
Chúng là nghịch đảo của ba hàm chính: sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ và cot θ = cos ÷ sin. Bật "Hiển thị secant, cosecant và cotangent" để thêm thẻ và đoạn của chúng vào hình. sec không xác định tại 90° và 270°, còn csc và cot không xác định tại 0°, 180° và 360°.
Làm sao tìm sin và cos bằng đường tròn đơn vị?
Đọc từ tọa độ của điểm. Điểm ứng với góc θ là (cos θ, sin θ): cos θ cho biết điểm lệch sang phải hay trái tâm bao xa, còn sin θ cho biết nó cao hay thấp hơn trục x bao nhiêu. Tại 30°, các thẻ hiện sin 0,5000 và cos 0,8660. Ở bên trái tâm và dưới trục, giá trị thành số âm, như tại 210° khi cả hai đều âm.
Tôi có thể dùng radian thay vì độ không?
Có. Đổi mục "Đơn vị" từ "Độ" sang "Radian", khi đó số hiển thị θ và ô "Góc" dùng radian, từ 0 đến 6,2832. Radian hiện dưới dạng số thập phân thay vì bội của π, nên 90° là 1,5708 rad và 180° là 3,1416 rad.
Cách nhớ đường tròn lượng giác là gì?
Thay vì học thuộc bảng, hãy nhớ cos là chiều ngang, sin là chiều cao, tan là độ cao trên đường x = 1. Kéo điểm và nhìn độ dài, hướng của từng đoạn là cách nhớ nhanh nhất.
