Círculo unitário: arraste o ponto e veja sen, cos e tg
Arraste o ponto azul pelo círculo unitário e veja como sen, cos e tg mudam com o ângulo. Cada valor é desenhado como um segmento colorido, então você enxerga de onde ele vem em vez de decorar uma tabela. Tudo roda no seu navegador, sem enviar arquivos e sem criar conta.
Como usar o círculo unitário online
- Arraste o ponto azul ao redor do círculo com o mouse ou com o dedo. Ele pula de grau em grau, então 90° e 270° são atingidos com exatidão. A leitura no alto (θ 45° no início) acompanha o ponto.
- Ou digite um ângulo na caixa "Ângulo". Ela aceita de 0 a 360 em graus e de 0 a 6,2832 em radianos; fora dessa faixa aparece uma dica.
- Para passos curtos, foque o ponto e use as setas do teclado (1 grau), Page Up e Page Down (15 graus) ou Home para voltar a 0.
- Leia o painel de valores: os cartões sen θ, cos θ e tg θ se atualizam em cada posição, com 4 casas decimais.
Círculo trigonométrico sen e cos: o que os segmentos mostram
O círculo tem raio 1, então o ponto no ângulo θ, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo (o arco pequeno), fica em (cos θ, sen θ). Cada função corresponde a um segmento e a um cartão.
- sen θ (laranja): o segmento vertical do eixo x até o ponto. O comprimento é a altura (y) do ponto.
- cos θ (verde): o segmento horizontal ao longo do eixo x a partir do centro. O comprimento é a largura (x) do ponto.
- tg θ (roxo): o segmento vertical na reta x = 1, a tangente. Uma semirreta tracejada do centro passando pelo ponto chega até ela, e tg θ é a altura onde ela pousa, por isso tg θ = sen ÷ cos.
Um segmento do lado "errado" de um eixo indica valor negativo: o de cos aponta para a esquerda no segundo e no terceiro quadrante, e o de sen para baixo no terceiro e no quarto.
Círculo unitário valores: ângulos comuns
Estes são os números que os cartões mostram em alguns ângulos conhecidos. Arraste o ponto até cada um para conferir.
- 0°: sen 0,0000 · cos 1,0000 · tg 0,0000
- 30°: sen 0,5000 · cos 0,8660 · tg 0,5774
- 45°: sen 0,7071 · cos 0,7071 · tg 1,0000
- 60°: sen 0,8660 · cos 0,5000 · tg 1,7321
- 90°: sen 1,0000 · cos 0,0000 · tg indefinida
- 120°: sen 0,8660 · cos -0,5000 · tg -1,7321
- 210°: sen -0,5000 · cos -0,8660 · tg 0,5774
Por que a tangente é indefinida em 90° e 270°
Em 90° e 270° o ponto está exatamente acima ou abaixo do centro, então cos θ vale 0 e a divisão sen ÷ cos não tem resultado. A semirreta tracejada nunca alcança a reta x = 1, o segmento roxo desaparece e o cartão mostra "Indefinida".
O mesmo acontece com sec θ nesses dois ângulos. Em cossec θ e cotg θ, quem vale 0 é sen θ, em 0°, 180° e 360°.
Graus e radianos
Use a opção "Unidade" para trocar a leitura e a caixa "Ângulo" entre "Graus" e "Radianos". Os radianos aparecem como decimais: 90° é 1,5708 rad, 180° é 3,1416 rad e uma volta completa é 6,2832 rad. O desenho e os valores não mudam, só a forma de escrever o ângulo.
Secante, cossecante e cotangente
Marque Mostrar secante, cossecante e cotangente para incluir as três funções recíprocas: sec θ (1 ÷ cos), cossec θ (1 ÷ sen) e cotg θ (cos ÷ sen). No desenho, sec é um segmento carmesim no eixo x, cossec um segmento verde-azulado no eixo y e cotg um segmento âmbar ao longo da reta y = 1, junto com uma tangente tracejada ao círculo no ponto.
Para ver a mesma onda do seno em um gráfico, plote y = sen(x) na Calculadora gráfica. Para a inclinação de sen e cos, experimente a Calculadora de derivadas. Para medidas do círculo fora da trigonometria, use a Calculadora de Área do Círculo.
Perguntas frequentes
Como funciona a tangente no círculo unitário?
A tangente é sen ÷ cos e, no círculo, é um comprimento que você pode ver. Trace uma semirreta do centro passando pelo ponto e prolongue até a reta vertical x = 1: a altura onde ela pousa é tg θ. O segmento roxo do desenho é exatamente isso. Em 45° ela pousa na altura 1, então tg 45° vale 1,0000.
Por que tg 90 é indefinida?
Em 90° o ponto está bem acima do centro, então cos θ vale 0 e tg θ = sen ÷ cos dividiria 1 por 0. Geometricamente, a semirreta que passa pelo centro e pelo ponto é paralela à reta x = 1 e nunca a cruza, então não há segmento de tg para desenhar. Arraste até 90° ou 270° e tg θ mostra "Indefinida" enquanto o segmento roxo desaparece.
Por que cos 90 é zero?
cos θ é a posição horizontal (x) do ponto. Em 90° o ponto está bem acima do centro, sua posição x é 0 e o segmento verde de cos encolhe até sumir. O cartão mostra 0,0000, e sen θ vale 1,0000 porque o ponto está na altura máxima.
O que são secante, cossecante e cotangente?
São os inversos das três funções principais: sec θ = 1 ÷ cos θ, cossec θ = 1 ÷ sen θ e cotg θ = cos ÷ sen. Ative "Mostrar secante, cossecante e cotangente" para incluir os cartões e os segmentos no desenho. A sec é indefinida em 90° e 270°, e a cossec e a cotg em 0°, 180° e 360°.
Como encontro sen e cos no círculo?
Leia pelas coordenadas do ponto. O ponto no ângulo θ é (cos θ, sen θ): cos θ diz o quanto ele está à direita ou à esquerda do centro, e sen θ o quanto está acima ou abaixo do eixo x. Em 30° os cartões mostram sen 0,5000 e cos 0,8660. À esquerda do centro e abaixo do eixo os valores ficam negativos, como em 210°, onde os dois são negativos.
Posso usar radianos em vez de graus?
Pode. Troque a opção "Unidade" de "Graus" para "Radianos" e a leitura de θ e a caixa "Ângulo" passam a usar radianos, de 0 a 6,2832. Os radianos aparecem como decimais, e não como múltiplos de π, então 90° é lido como 1,5708 rad e 180° como 3,1416 rad.
Como interpretar os ângulos notáveis?
Ângulos como 30°, 45° e 60° dão valores conhecidos: em 45°, sen e cos valem 0,7071 e tg vale 1,0000. Arraste o ponto até cada ângulo e compare o comprimento dos segmentos com a tabela acima.
