Okrąg jednostkowy: przeciągnij punkt, zobacz sin, cos i tg
Przeciągnij niebieski punkt po okręgu jednostkowym i zobacz, jak sin, cos i tg zmieniają się razem z kątem. Każda wartość jest narysowana jako kolorowy odcinek, więc widzisz, skąd się bierze, zamiast uczyć się tabelki na pamięć. Wszystko działa w twojej przeglądarce, bez wysyłania plików i bez konta.
Okrąg jednostkowy: jak go używać
- Przeciągnij niebieski punkt po okręgu myszką lub palcem. Przeskakuje co pełny stopień, więc 90° i 270° trafisz dokładnie. Odczyt u góry (na początku θ 45°) podąża za punktem.
- Możesz też wpisać kąt w polu „Kąt”. Przyjmuje od 0 do 360 stopni i od 0 do 6,2832 radianów; poza tym zakresem pojawia się podpowiedź.
- Do drobnych kroków ustaw fokus na punkcie: strzałki przesuwają go o 1 stopień, Page Up i Page Down o 15 stopni, a Home wraca do 0.
- Sprawdź panel wartości: karty sin θ, cos θ i tg θ odświeżają się w każdym położeniu, do 4 miejsc po przecinku.
Okrąg trygonometryczny: co znaczą kolorowe odcinki
Okrąg ma promień 1, więc punkt dla kąta θ, mierzonego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi x (mały łuk), leży w (cos θ, sin θ). Każda funkcja ma swój odcinek i swoją kartę.
- sin θ (pomarańczowy): pionowy odcinek od osi x w górę do punktu. Jego długość to wysokość (y) punktu.
- cos θ (zielony): poziomy odcinek wzdłuż osi x od środka. Jego długość to szerokość (x) punktu.
- tg θ (fioletowy): pionowy odcinek na prostej x = 1, czyli stycznej. Przerywana półprosta ze środka przez punkt dochodzi do niej, a tg θ to wysokość, na jakiej ląduje, dlatego tg θ = sin ÷ cos.
Odcinek po „złej” stronie osi oznacza wartość ujemną: odcinek cos wskazuje w lewo w drugiej i trzeciej ćwiartce, a odcinek sin w dół w trzeciej i czwartej.
Okrąg jednostkowy sinus: wartości dla znanych kątów
To liczby, które pokazują karty dla kilku znanych kątów. Przeciągnij punkt do każdego z nich i sprawdź.
- 0°: sin 0,0000 · cos 1,0000 · tg 0,0000
- 30°: sin 0,5000 · cos 0,8660 · tg 0,5774
- 45°: sin 0,7071 · cos 0,7071 · tg 1,0000
- 60°: sin 0,8660 · cos 0,5000 · tg 1,7321
- 90°: sin 1,0000 · cos 0,0000 · tg nieokreślony
- 120°: sin 0,8660 · cos -0,5000 · tg -1,7321
- 210°: sin -0,5000 · cos -0,8660 · tg 0,5774
Dlaczego tg nie istnieje dla 90° i 270°
Dla 90° i 270° punkt leży dokładnie nad środkiem albo pod nim, więc cos θ wynosi 0, a dzielenie sin ÷ cos nie ma wyniku. Przerywana półprosta nigdy nie dochodzi do prostej x = 1, fioletowy odcinek znika, a karta pokazuje „Nieokreślony”.
To samo dzieje się z sec θ w tych dwóch kątach. W przypadku cosec θ i ctg θ zerem jest sin θ, dla 0°, 180° i 360°.
Stopnie i radiany
Przełącznik „Jednostka” zmienia odczyt i pole „Kąt” między „Stopnie” a „Radiany”. Radiany są pokazane jako ułamki dziesiętne: 90° to 1,5708 rad, 180° to 3,1416 rad, a pełny obrót to 6,2832 rad. Rysunek i wartości się nie zmieniają, zmienia się tylko zapis kąta.
Sekans, cosekans i cotangens
Zaznacz Pokaż sekans, cosekans i cotangens, aby dodać trzy funkcje odwrotne: sec θ (1 ÷ cos), cosec θ (1 ÷ sin) i ctg θ (cos ÷ sin). Na rysunku sec to karmazynowy odcinek na osi x, cosec turkusowy odcinek na osi y, a ctg bursztynowy odcinek wzdłuż prostej y = 1, razem z przerywaną styczną do okręgu w punkcie.
Żeby zobaczyć tę samą sinusoidę na wykresie, narysuj y = sin(x) w Kalkulatorze graficznym. Nachylenie sin i cos sprawdzisz w Kalkulatorze pochodnych, a miary koła poza trygonometrią policzysz w Kalkulatorze pola koła.
Najczęstsze pytania
Jak działa tangens, gdy patrzysz na okrąg jednostkowy?
Tangens to sin ÷ cos, a na okręgu jest to długość, którą widać. Poprowadź półprostą ze środka przez punkt i przedłuż ją do pionowej prostej x = 1: wysokość, na której ląduje, to tg θ. Fioletowy odcinek na rysunku to właśnie to. Dla 45° ląduje na wysokości 1, więc tg 45° wynosi 1,0000.
Dlaczego tg 90 jest nieokreślony?
Dla 90° punkt leży dokładnie nad środkiem, więc cos θ wynosi 0, a tg θ = sin ÷ cos oznaczałby dzielenie 1 przez 0. Geometrycznie półprosta przez środek i punkt jest równoległa do prostej x = 1 i nigdy jej nie przecina, więc nie ma odcinka tg do narysowania. Przeciągnij na 90° lub 270°, a tg θ pokaże „Nieokreślony”, gdy fioletowy odcinek zniknie.
Dlaczego cos 90 wynosi zero?
cos θ to poziome położenie (x) punktu. Dla 90° punkt leży dokładnie nad środkiem, jego położenie x to 0, a zielony odcinek cos kurczy się do zera. Karta pokazuje 0,0000, a sin θ wynosi 1,0000, bo punkt jest na pełnej wysokości.
Czym są sekans, cosekans i cotangens?
To odwrotności trzech głównych funkcji: sec θ = 1 ÷ cos θ, cosec θ = 1 ÷ sin θ i ctg θ = cos ÷ sin. Włącz „Pokaż sekans, cosekans i cotangens”, aby dodać ich karty i odcinki do rysunku. sec jest nieokreślony dla 90° i 270°, a cosec i ctg dla 0°, 180° i 360°.
Jak odczytać sin i cos z okręgu jednostkowego?
Odczytaj je ze współrzędnych punktu. Punkt dla kąta θ ma współrzędne (cos θ, sin θ): cos θ mówi, jak daleko jest na prawo lub lewo od środka, a sin θ, jak daleko nad osią x lub pod nią. Dla 30° karty pokazują sin 0,5000 i cos 0,8660. Na lewo od środka i pod osią wartości robią się ujemne, jak dla 210°, gdzie obie są ujemne.
Czy mogę używać radianów zamiast stopni?
Tak. Przełącz „Jednostka” ze „Stopnie” na „Radiany”, a odczyt θ i pole „Kąt” będą w radianach, od 0 do 6,2832. Radiany są pokazane jako ułamki dziesiętne, a nie wielokrotności π, więc 90° to 1,5708 rad, a 180° to 3,1416 rad.
Czym jest okrąg trygonometryczny?
To inna nazwa okręgu jednostkowego: okrąg o promieniu 1 i środku w początku układu, w którym punkt dla kąta θ ma współrzędne (cos θ, sin θ). Dzięki temu sin, cos i tg widać tu jako odcinki.
Polecane
-
Kalkulator naukowy Casio fx-991ES Plus 2Przed egzaminem sprawdź na prawdziwym kalkulatorze wartości z 4 miejscami po przecinku, które pokazuje to narzędzie.
-
Magnetyczna tablica biurkowa z pisakamiNarysuj okrąg i zaznacz sin, cos i tan w trzech kolorach dla całej klasy.
-
Tablet graficzny XPPen Deco 01 V3Rysuj okrąg jednostkowy na ekranie, żeby klasa zdalna widziała każdy kąt.
Pomaga utrzymać narzędzia za darmo. ✨
Zdjęcia poglądowe. Jestem Partnerem Amazon i otrzymuję wynagrodzenie z tytułu określonych zakupów dokonywanych za moim pośrednictwem.
