Circonferenza goniometrica interattiva: seno, coseno, tangente
Trascina il punto blu sulla circonferenza goniometrica e guarda come cambiano seno, coseno e tangente con l'angolo. Ogni valore è disegnato come un segmento colorato, così vedi da dove nasce invece di memorizzare una tabella. Tutto funziona nel tuo browser, senza caricare file e senza account.
Come usare la circonferenza goniometrica online
- Trascina il punto blu lungo la circonferenza con il mouse o con il dito. Scatta sui gradi interi, quindi 90° e 270° si raggiungono con precisione. La lettura in alto (θ 45° all'inizio) segue il punto.
- Oppure scrivi un angolo nella casella «Angolo». Accetta da 0 a 360 in gradi e da 0 a 6,2832 in radianti; fuori da questo intervallo compare un suggerimento.
- Per passi più fini, seleziona il punto e premi le frecce per muoverti di 1 grado, Pag su o Pag giù per 15 gradi, Home per tornare a 0.
- Leggi il pannello dei valori: le schede sen θ, cos θ e tan θ si aggiornano a ogni posizione, con 4 decimali.
Circonferenza goniometrica, seno e coseno: cosa indicano i segmenti
La circonferenza ha raggio 1, quindi il punto all'angolo θ, misurato in senso antiorario dall'asse x positivo (il piccolo arco), si trova in (cos θ, sen θ). Ogni funzione corrisponde a un segmento e a una scheda.
- sen θ (arancione): il segmento verticale dall'asse x fino al punto. La sua lunghezza è l'altezza (y) del punto.
- cos θ (verde): il segmento orizzontale sull'asse x a partire dal centro. La sua lunghezza è la larghezza (x) del punto.
- tan θ (viola): il segmento verticale sulla retta x = 1, la tangente. Una semiretta tratteggiata dal centro che passa per il punto la raggiunge, e tan θ è l'altezza a cui arriva, per questo tan θ = sen ÷ cos.
Un segmento dalla parte opposta di un asse indica un valore negativo: quello di cos punta a sinistra nel secondo e nel terzo quadrante, quello di sen verso il basso nel terzo e nel quarto.
Circonferenza goniometrica: valori degli angoli noti
Sono i numeri che le schede mostrano in alcuni angoli familiari. Trascina il punto su ciascuno per controllare. Bastano sette righe:
- 0°: sen 0,0000 · cos 1,0000 · tan 0,0000
- 30°: sen 0,5000 · cos 0,8660 · tan 0,5774
- 45°: sen 0,7071 · cos 0,7071 · tan 1,0000
- 60°: sen 0,8660 · cos 0,5000 · tan 1,7321
- 90°: sen 1,0000 · cos 0,0000 · tan non definita
- 120°: sen 0,8660 · cos -0,5000 · tan -1,7321
- 210°: sen -0,5000 · cos -0,8660 · tan 0,5774
Perché la tangente non è definita a 90° e 270°
A 90° e 270° il punto è esattamente sopra o sotto il centro, quindi cos θ vale 0 e la divisione sen ÷ cos non ha risultato. La semiretta tratteggiata non raggiunge mai la retta x = 1, il segmento viola scompare e la scheda mostra «Non definita».
Lo stesso accade a sec θ in questi due angoli. Per csc θ e cot θ è sen θ a valere 0, a 0°, 180° e 360°.
Gradi e radianti sul cerchio goniometrico
L'interruttore «Unità» cambia la lettura e la casella «Angolo» tra «Gradi» e «Radianti». I radianti sono mostrati in decimali: 90° è 1,5708 rad, 180° è 3,1416 rad e un giro completo è 6,2832 rad. Il disegno e i valori non cambiano, cambia solo come è scritto l'angolo.
Secante, cosecante e cotangente
Attiva Mostra secante, cosecante e cotangente per aggiungere le tre funzioni reciproche: sec θ (1 ÷ cos), csc θ (1 ÷ sen) e cot θ (cos ÷ sen). Nel disegno sec è un segmento cremisi sull'asse x, csc uno turchese sull'asse y e cot uno ambra lungo la retta y = 1, con una tangente tratteggiata alla circonferenza nel punto.
Per vedere la stessa sinusoide su un grafico, disegna y = sen(x) con la Calcolatrice grafica. Per la pendenza di sen e cos prova il Calcolatore di derivate. Per misure del cerchio fuori dalla trigonometria usa il Calcolatore Area del Cerchio.
Domande frequenti
Come funziona la tangente sulla circonferenza goniometrica?
La tangente è sen ÷ cos e sulla circonferenza è una lunghezza che puoi vedere. Traccia una semiretta dal centro attraverso il punto e prolungala fino alla retta verticale x = 1: l'altezza a cui arriva è tan θ. Il segmento viola del disegno è proprio questo. A 45° arriva ad altezza 1, quindi tan 45° vale 1,0000.
Perché tan 90 non è definita?
A 90° il punto è esattamente sopra il centro, quindi cos θ vale 0 e tan θ = sen ÷ cos dividerebbe 1 per 0. Geometricamente la semiretta che passa per il centro e il punto è parallela alla retta x = 1 e non la incontra mai, quindi non c'è alcun segmento di tan da disegnare. Trascina a 90° o 270° e tan θ mostra «Non definita» mentre il segmento viola scompare.
Perché cos 90 è zero?
cos θ è la posizione orizzontale (x) del punto. A 90° il punto è esattamente sopra il centro, la sua posizione x è 0 e il segmento verde di cos si riduce a nulla. La scheda mostra 0,0000 e sen θ vale 1,0000 perché il punto è all'altezza massima.
Cosa sono secante, cosecante e cotangente?
Sono i reciproci delle tre funzioni principali: sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sen θ e cot θ = cos ÷ sen. Attiva «Mostra secante, cosecante e cotangente» per aggiungere le loro schede e i loro segmenti al disegno. sec non è definita a 90° e 270°, mentre csc e cot non lo sono a 0°, 180° e 360°.
Come trovo seno e coseno con la circonferenza goniometrica?
Leggili dalle coordinate del punto. Il punto all'angolo θ è (cos θ, sen θ): cos θ dice quanto è a destra o a sinistra del centro e sen θ quanto è sopra o sotto l'asse x. A 30° le schede mostrano sen 0,5000 e cos 0,8660. A sinistra del centro e sotto l'asse i valori diventano negativi, come a 210°, dove lo sono entrambi.
Posso usare i radianti invece dei gradi?
Sì. Porta il controllo «Unità» da «Gradi» a «Radianti» e la lettura di θ e la casella «Angolo» passano ai radianti, da 0 a 6,2832. I radianti sono mostrati in decimali e non come multipli di π, quindi 90° si legge 1,5708 rad e 180° si legge 3,1416 rad.
Cos'è il cerchio goniometrico?
È un altro nome per la circonferenza goniometrica, detta anche cerchio unitario: una circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine, in cui il punto all'angolo θ ha coordinate (cos θ, sen θ). Per questo qui sen, cos e tan si vedono come segmenti.
Consigliati
-
Calcolatrice scientifica Casio fx-991ES Plus 2Prima dell'esame, confronta con una calcolatrice vera i valori a 4 decimali appena visti.
-
Lavagna bianca magnetica da scrivania con pennarelliDisegna la circonferenza e traccia seno, coseno e tangente in tre colori per tutta la classe.
-
Tavoletta grafica XPPen Deco 01 V3Disegna la circonferenza goniometrica sullo schermo, così la classe a distanza segue ogni angolo.
Aiuta a mantenere gratuiti gli strumenti. ✨
Le immagini sono solo a scopo illustrativo. In qualità di Affiliato Amazon io ricevo un guadagno dagli acquisti idonei.
