Cercle trigonométrique interactif : sin, cos et tan
Faites glisser le point bleu sur le cercle trigonométrique et regardez sin, cos et tan changer avec l'angle. Chaque valeur est tracée comme un segment coloré : vous voyez d'où elle vient au lieu d'apprendre un tableau par cœur. Tout s'exécute dans votre navigateur, sans envoi de fichier ni compte.
Utiliser le cercle trigonométrique en ligne
- Faites glisser le point bleu autour du cercle, à la souris ou au doigt. Il se cale sur les degrés entiers : 90° et 270° sont donc atteints exactement. L'indication en haut (θ 45° au départ) suit le point.
- Ou saisissez un angle dans la zone « Angle ». Elle accepte de 0 à 360 en degrés et de 0 à 6,2832 en radians ; hors de cette plage, une indication apparaît.
- Pour avancer pas à pas, mettez le point au focus : les flèches le déplacent de 1 degré, Page précédente et Page suivante de 15 degrés, Début le ramène à 0.
- Lisez le panneau des valeurs : les cartes sin θ, cos θ et tan θ se mettent à jour à chaque position, avec 4 décimales.
Cercle trigonométrique : ce que montrent les segments colorés
Le cercle a pour rayon 1. Le point d'angle θ, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre depuis l'axe des x positif (le petit arc), a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Chaque fonction correspond à un segment et à une carte.
- sin θ (orange) : le segment vertical entre l'axe des x et le point. Sa longueur est la hauteur (y) du point.
- cos θ (vert) : le segment horizontal sur l'axe des x depuis le centre. Sa longueur est la largeur (x) du point.
- tan θ (violet) : le segment vertical sur la droite x = 1, la tangente. Une demi-droite en pointillés partant du centre et passant par le point la rejoint, et tan θ est la hauteur où elle arrive, d'où tan θ = sin ÷ cos.
Un segment de l'autre côté d'un axe signifie une valeur négative : le segment de cos pointe vers la gauche dans les deuxième et troisième quadrants, celui de sin vers le bas dans les troisième et quatrième.
Cercle trigonométrique : valeurs et tableau des angles usuels
Voici les nombres que les cartes affichent pour quelques angles connus. Faites glisser le point jusqu'à chacun pour vérifier. Ce petit tableau tient en sept lignes :
- 0°: sin 0,0000 · cos 1,0000 · tan 0,0000
- 30°: sin 0,5000 · cos 0,8660 · tan 0,5774
- 45°: sin 0,7071 · cos 0,7071 · tan 1,0000
- 60°: sin 0,8660 · cos 0,5000 · tan 1,7321
- 90°: sin 1,0000 · cos 0,0000 · tan non définie
- 120°: sin 0,8660 · cos -0,5000 · tan -1,7321
- 210°: sin -0,5000 · cos -0,8660 · tan 0,5774
Pourquoi tan n'est pas défini à 90° et 270°
À 90° et 270°, le point est exactement au-dessus ou au-dessous du centre : cos θ vaut 0 et la division sin ÷ cos n'a pas de résultat. La demi-droite en pointillés ne rencontre jamais la droite x = 1, le segment violet disparaît et la carte affiche « Non définie ».
Il en va de même pour sec θ à ces deux angles. Pour csc θ et cotan θ, c'est sin θ qui vaut 0, à 0°, 180° et 360°.
Degrés et radians sur le cercle unité
Le commutateur « Unité » fait passer l'affichage et la zone « Angle » de « Degrés » à « Radians ». Les radians s'affichent en décimaux : 90° valent 1,5708 rad, 180° valent 3,1416 rad et un tour complet 6,2832 rad. Le dessin et les valeurs ne changent pas, seule l'écriture de l'angle change.
Sécante, cosécante et cotangente
Cochez Afficher sécante, cosécante et cotangente pour ajouter les trois fonctions inverses : sec θ (1 ÷ cos), csc θ (1 ÷ sin) et cotan θ (cos ÷ sin). Sur le dessin, sec est un segment cramoisi sur l'axe des x, csc un segment turquoise sur l'axe des y et cotan un segment ambre sur la droite y = 1, avec une tangente en pointillés au cercle au niveau du point.
Pour voir la même sinusoïde sur un graphique, tracez y = sin(x) dans la Calculatrice graphique. Pour la pente de sin et de cos, essayez le Calculateur de dérivées. Pour des mesures du cercle hors trigonométrie, utilisez le Calculateur d'aire du cercle.
Questions fréquentes
Comment fonctionne la tangente sur le cercle trigonométrique ?
La tangente vaut sin ÷ cos, et sur le cercle c'est une longueur que l'on voit. Tracez une demi-droite du centre vers le point et prolongez-la jusqu'à la droite verticale x = 1 : la hauteur où elle arrive est tan θ. Le segment violet du dessin montre exactement cela. À 45°, elle arrive à la hauteur 1, donc tan 45° vaut 1,0000.
Pourquoi tan 90 n'est pas défini ?
À 90°, le point est exactement au-dessus du centre : cos θ vaut 0 et tan θ = sin ÷ cos reviendrait à diviser 1 par 0. Géométriquement, la demi-droite qui passe par le centre et le point est parallèle à la droite x = 1 et ne la coupe jamais, il n'y a donc aucun segment de tan à tracer. Déplacez le point à 90° ou 270° : tan θ affiche « Non définie » et le segment violet disparaît.
Pourquoi cos 90 vaut-il zéro ?
cos θ est la position horizontale (x) du point. À 90°, le point est exactement au-dessus du centre, sa position x est 0 et le segment vert de cos se réduit à rien. La carte affiche 0,0000, et sin θ vaut 1,0000 car le point est à sa hauteur maximale.
Que sont la sécante, la cosécante et la cotangente ?
Ce sont les inverses des trois fonctions principales : sec θ = 1 ÷ cos θ, csc θ = 1 ÷ sin θ et cotan θ = cos ÷ sin. Cochez « Afficher sécante, cosécante et cotangente » pour ajouter leurs cartes et leurs segments au dessin. sec n'est pas défini à 90° et 270°, tandis que csc et cotan ne le sont pas à 0°, 180° et 360°.
Comment lire sin et cos sur le cercle trigonométrique ?
Lisez-les dans les coordonnées du point. Le point d'angle θ est (cos θ, sin θ) : cos θ indique de combien il est à droite ou à gauche du centre, et sin θ de combien il est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x. À 30°, les cartes affichent sin 0,5000 et cos 0,8660. À gauche du centre et sous l'axe, les valeurs deviennent négatives, comme à 210° où les deux le sont.
Peut-on utiliser les radians au lieu des degrés ?
Oui. Faites passer le réglage « Unité » de « Degrés » à « Radians » : l'indication de θ et la zone « Angle » passent en radians, de 0 à 6,2832. Les radians s'affichent en décimaux et non en multiples de π : 90° se lit 1,5708 rad et 180° se lit 3,1416 rad.
Qu'est-ce que le cercle unité ?
C'est un autre nom du cercle trigonométrique : un cercle de rayon 1 centré à l'origine, où le point d'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ). C'est ce qui permet ici de voir sin, cos et tan comme des segments.
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